Úprava 7. příkladu z FYI
This commit is contained in:
parent
c98df526ea
commit
ca1cd8e884
1 changed files with 22 additions and 16 deletions
|
@ -1,34 +1,40 @@
|
|||
### Zadání
|
||||
|
||||
Homogenní válec o poloměru **R** a hmotnosti **m** se beze smyku valí po nakloněné rovině ve směru spádnice. Délka nakloněné roviny je **s**, úhel jejího sklonu je **α**. V nejvyšším bodě byl válec v klidu a pohybuje se jen vlivem vlastní tíhy. Vypočítejte, jakou rychlost bude mít těžiště válce při opuštění nakloněné roviny.
|
||||
**Homogenní válec** o poloměru **R** a hmotnosti **m** se beze smyku valí po **nakloněné rovině** ve směru spádnice. Délka nakloněné roviny je **s**, úhel jejího sklonu je **α**. V nejvyšším bodě byl válec v klidu a pohybuje se jen vlivem vlastní tíhy. Vypočítejte, jakou **rychlost** bude mít těžiště válce **při opuštění nakloněné roviny**.
|
||||
|
||||
- $R$ - poloměr válce
|
||||
- $m$ - hmotnost válce
|
||||
- $s$ - délka nakloněné roviny (NR)
|
||||
- $\alpha$ - úhel sklonu NR
|
||||
- $v = \, ?$ - rychlost válce
|
||||
|
||||
![](_assets/priklad7.svg)
|
||||
|
||||
- tíhové pole $\to$ konzervativní $\implies$ zákon zachování mechanické energie
|
||||
tíhové pole $\to$ konzervativní $\implies$ zákon zachování mechanické energie
|
||||
- $W_{kin} + W_{pot} = \text{konst.}$
|
||||
- kinetická + potenciální
|
||||
|
||||
výška
|
||||
+ $\frac{h}{s} = \sin \alpha$
|
||||
+ $h = \sin \alpha \cdot s$
|
||||
- pro valení válce bez prokluzu platí
|
||||
- $2\pi R = v \cdot T$ (T = perioda)
|
||||
- $\displaystyle \frac{2\pi}{T} = \frac{v}{R}$ ($\displaystyle \frac{2\pi}{T} = \omega$ - úhlová rychlost)
|
||||
- $\displaystyle \omega = \frac{v}{R}$
|
||||
|
||||
pro valení válce bez prokluzu platí
|
||||
- $2\pi R = v \cdot T \quad / \cdot \frac{1}{T} \cdot \frac{1}{R} \qquad (T = \text{perioda})$
|
||||
- $\displaystyle \frac{2\pi}{T} = \frac{v}{R}$
|
||||
- $\frac{2\pi}{T} = \omega \quad (\text{úhlová rychlost})$
|
||||
+ $J = \frac{1}{2} m R^2$
|
||||
|
||||
### Výpočet
|
||||
|
||||
$\emptyset + m \cdot g \cdot h = \left[ \left( \frac{1}{2}m \cdot v^2 \right) + \left( \frac{1}{2}J \cdot \omega^2 \right) \right] + \emptyset$
|
||||
upravíme vzorec
|
||||
- $\emptyset + m \cdot g \cdot h = \left[ \left( \frac{1}{2}m \cdot v^2 \right) + \left( \frac{1}{2}J \cdot \omega^2 \right) \right] + \emptyset$
|
||||
- $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2$
|
||||
- dosadíme za $h, J, \omega$
|
||||
|
||||
$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}J\omega^2$
|
||||
|
||||
$m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}m \cdot R^2 \right)\cdot\left( \frac{v}{R} \right)^2$
|
||||
|
||||
$\cancel{m} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cancel{m}v^2 + \frac{1}{4}\cancel{m \cdot R^2} \cdot \frac{v^2}{\cancel{R^2}}$
|
||||
|
||||
$g \cdot h = \frac{3}{4}v^2 \implies v^2 = \frac{4}{3}gh$
|
||||
upravujeme a poté vyjádříme $v^2$
|
||||
- $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}\left( \frac{1}{2}m \cdot R^2 \right)\cdot\left( \frac{v}{R} \right)^2$
|
||||
- $\cancel{m} \cdot g \cdot h = \frac{1}{2}\cancel{m}v^2 + \frac{1}{4}\cancel{m \cdot R^2} \cdot \frac{v^2}{\cancel{R^2}}$
|
||||
+ $g \cdot h = \frac{3}{4}v^2 \implies v^2 = \frac{4}{3}gh$
|
||||
|
||||
### Výsledek
|
||||
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue