Doplnění 7. a 9. otázky z DMA
This commit is contained in:
parent
581208e0cc
commit
b62bdbe3f6
2 changed files with 45 additions and 13 deletions
|
@ -12,6 +12,22 @@ Nechť $x, y$ jsou dva prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Platí-li $x \l
|
||||||
|
|
||||||
Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků.
|
Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protože definice připouští existenci dvojic neporovnatelných prvků.
|
||||||
|
|
||||||
|
## Hasseův diagram
|
||||||
|
|
||||||
|
Hasseův diagram uspořádané množiny $(X, \leq)$ je znázornění, ve kterém **pro každou dvojici prvků** $x, y \in X$ platí $x \triangleleft y$, právě když $x, y$ jsou spojeny čarou a prvek $y$ **je nakreslen výše** než $x$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Spojnice není nutná opatřovat šipkou, protože směr je jednoznačně dán.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Nezakreslujeme**
|
||||||
|
- relace, které jsou v relaci díky tranzitivitě
|
||||||
|
- smyčky u vrcholů (reflexivita)
|
||||||
|
### Bezprostřední předchůdce
|
||||||
|
|
||||||
|
Nechť $x, y$ jsou prvky uspořádané množiny $(X, \leq)$. Prvek $x$ je **bezprostředním předchůdcem** prvku $y$ (psáno $x \triangleleft y$), pokud $x \leq y$ a **neexistuje žádné** $z \in X - \{x,y\}$, pro které by platilo $x \leq z \leq y$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Na vztah $\triangleleft$ se můžeme dívat jako na relaci na množině $X$ (tzv. **relace bezprostředního
|
||||||
|
předcházení**). Tato relace obecně není reflexívní ani tranzitivní.
|
||||||
|
|
||||||
## Základní pojmy
|
## Základní pojmy
|
||||||
|
|
||||||
**Největší prvek**
|
**Největší prvek**
|
||||||
|
@ -35,12 +51,16 @@ Uspořádání $\leq$ se často označuje jako **částečné** (POSET), protož
|
||||||
- může jich být více
|
- může jich být více
|
||||||
|
|
||||||
**Infimum**
|
**Infimum**
|
||||||
- TODO
|
- největší dolní závora prvků $x, y \in X$
|
||||||
|
- prvek $i \in X$ s vlastnostmi
|
||||||
|
- $i \leq x$ a $i \leq y$ (je dolní závorou)
|
||||||
|
- je-li $z \leq x$ a $z \leq y$ pro nějaké $z \in X$, pak $z \leq i$ (je největší dolní závorou)
|
||||||
|
|
||||||
**Supremum**
|
**Supremum**
|
||||||
- TODO
|
- nejmenší horní závora prvků $x, y \in X$
|
||||||
|
- prvek $s \in X$ s vlastnostmi
|
||||||
TODO
|
- $x \leq s$ a $y \leq s$ (je horní závorou)
|
||||||
|
- je-li $x \leq z$ a $y \leq z$ pro nějaké $z \in X$, pak $s \leq z$ (je nejmenší horní závorou)
|
||||||
|
|
||||||
**Výška POSETu**
|
**Výška POSETu**
|
||||||
- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$
|
- označíme $\text{height}(\mathcal P)$, je největší $h$ takové, že existuje řetězec $h$ prvků v $\mathcal P$
|
||||||
|
@ -58,4 +78,4 @@ TODO
|
||||||
TODO
|
TODO
|
||||||
|
|
||||||
**Řetěz**
|
**Řetěz**
|
||||||
- Řetězem délky $k$ nad abecedou $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost $$
|
- Řetězem délky $k$ nad abecedou $\Gamma = \{ \sigma_{1}, \sigma_{2}, \dots, \sigma_{n} \}$ velikosti $n$ budeme rozumět posloupnost
|
|
@ -1,25 +1,32 @@
|
||||||
# Svazy
|
# Svazy
|
||||||
|
|
||||||
Svaz je **uspořádaná množiny** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **libovolnou dvojici prvků**.
|
Svaz je **uspořádaná množina** $(X, \leq)$, ve které existuje **supremum** i **infimum** pro **každou dvojici prvků**.
|
||||||
|
|
||||||
Pro libovolné dva prvky $a, b$ svazu $(X, \leq)$ platí
|
Pro libovolné dva prvky $a, b$ svazu $(X, \leq)$ platí
|
||||||
- $a \leq b$ právě když $a \vee b = b$ právě když $a \wedge b = a$.
|
- $a \leq b$ právě když $a \vee b = b$ právě když $a \wedge b = a$.
|
||||||
|
|
||||||
|
| popis | inf/sup | značení |
|
||||||
|
| -------------------------- | ---------------- | ---------------- |
|
||||||
|
| $a$ je dolní závora $a, b$ | $a = \inf(a, b)$ | $a = a \wedge b$ |
|
||||||
|
| $b$ je horní závora $a, b$ | $b = \sup(a, b)$ | $b = a \vee b$ |
|
||||||
|
|
||||||
## Princip duality
|
## Princip duality
|
||||||
|
|
||||||
Když v libovolném pravdivém tvrzení prohodíme průsek a spojení (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.
|
Když v libovolném pravdivém tvrzení **prohodíme průsek a spojení** (a uspořádání nahradíme inverzním), dostaneme opět pravdivé tvrzení.
|
||||||
|
|
||||||
## Operace
|
## Operace
|
||||||
|
|
||||||
**Supremum**
|
**Supremum**
|
||||||
- značíme $x \vee y$
|
- značíme $x \vee y$
|
||||||
- největší dolní závora obou prvků
|
- nejmenší horní závora obou prvků
|
||||||
- spojení (sjednocení) dvou množin
|
- spojení (sjednocení) dvou množin
|
||||||
|
|
||||||
**Infimum**
|
**Infimum**
|
||||||
- značíme $x \wedge y$
|
- značíme $x \wedge y$
|
||||||
- nejmenší horní závora obou prvků
|
- největší dolní závora obou prvků
|
||||||
- průnik dvou množin
|
- průsek (průnik) dvou množin
|
||||||
|
|
||||||
|
## Vlastnosti
|
||||||
|
|
||||||
Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
|
Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
|
||||||
|
|
||||||
|
@ -32,10 +39,13 @@ Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
|
||||||
|
|
||||||
## Distributivní svaz
|
## Distributivní svaz
|
||||||
|
|
||||||
**Definice**
|
Řekneme, že **svaz** $(X, \leq)$ je **distributivní**, jestliže
|
||||||
- Řekneme, že svaz $(X, \leq)$ je distributivní, jestliže $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$.
|
- $\forall \, x, y, z \in X$ je $x \wedge (y \vee z) = (x \vee y) \wedge (x \vee z)$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Z principu duality v distributivním svazu platí rovněž $x \vee (y \wedge z) = (x \wedge y) \vee (x \wedge z)$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Birkhoffovo kritérium distributivity
|
||||||
|
|
||||||
**Birkhoffovo kritérium distributivity**
|
|
||||||
- Svaz $(X, \leq)$ je distributivní právě když neobsahuje jako podsvaz $X_{1}$ ani $X_{2}$.
|
- Svaz $(X, \leq)$ je distributivní právě když neobsahuje jako podsvaz $X_{1}$ ani $X_{2}$.
|
||||||
|
|
||||||
![[_assets/distributivni_svaz.png]]
|
![[_assets/distributivni_svaz.png]]
|
||||||
|
@ -44,6 +54,8 @@ Mejmě svaz $X$ a $x, y, z \in X$. Potom platí:
|
||||||
|
|
||||||
Nechť $(X, \leq)$ je svaz a $Y \subset X$. Řekneme, že POSET $(Y, \leq)$ je podsvazem svazu $(X, \leq)$, jestliže operace spojení a průseku v $Y$ jsou zúženími operací spojení a průseku v $X$.
|
Nechť $(X, \leq)$ je svaz a $Y \subset X$. Řekneme, že POSET $(Y, \leq)$ je podsvazem svazu $(X, \leq)$, jestliže operace spojení a průseku v $Y$ jsou zúženími operací spojení a průseku v $X$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Vyškrtnu infimum a supremum, pokud alespoň jeden z prvků chybí v podsvazu a zbytek tabulky by měl stále platit.
|
||||||
|
|
||||||
## Konečný svaz
|
## Konečný svaz
|
||||||
|
|
||||||
Je-li $(X, \leq)$ konečný svaz (tj. $|X|$ je konečný), potom v $X$ existuje nejmenší i největší prvek.
|
Je-li $(X, \leq)$ konečný svaz (tj. $|X|$ je konečný), potom v $X$ existuje nejmenší i největší prvek.
|
||||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue