Doplnění poznámek z LAA
This commit is contained in:
parent
b0164c1079
commit
b460fac1d3
6 changed files with 44 additions and 2 deletions
|
@ -15,6 +15,7 @@ Hodnoty $a_i$ nazýváme **koeficienty** polynomu $p(x)$.
|
||||||
### Stupeň polynomu
|
### Stupeň polynomu
|
||||||
|
|
||||||
Stupeň polynomu $p(x)$ je **nejvyšší mocnina proměnné $x$** u níž je nenulový koeficient.
|
Stupeň polynomu $p(x)$ je **nejvyšší mocnina proměnné $x$** u níž je nenulový koeficient.
|
||||||
|
- značí se: $st(p(x))$
|
||||||
|
|
||||||
### Nulový polynom
|
### Nulový polynom
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
@ -70,3 +70,7 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za
|
||||||
- **Násobení dvou matic**
|
- **Násobení dvou matic**
|
||||||
- nekomutativní
|
- nekomutativní
|
||||||
- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$
|
- matice $A_{m/\underline{n}}$ a $B_{\underline{n}/p}$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Pivot
|
||||||
|
|
||||||
|
**Pivotem** v řádku $i$ je první nenulové číslo v tomto řádku zleva.
|
||||||
|
|
|
@ -66,6 +66,12 @@ Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
|
||||||
$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||||||
$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Určení souřadnic vektoru v bázi
|
||||||
|
|
||||||
|
1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
|
||||||
|
2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
|
||||||
|
3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
|
||||||
|
4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
|
||||||
|
|
||||||
### Lineární obal
|
### Lineární obal
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
@ -79,3 +79,22 @@ Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
|
||||||
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**
|
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**
|
||||||
- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
|
- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
|
||||||
- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
|
- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Inverzní matice
|
||||||
|
|
||||||
|
Inverzní matice $A^{-1}$ nemusí pro matici $A$ vždy existovat. Pokud ale existuje, je jednoznačně určená.
|
||||||
|
- $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$
|
||||||
|
- $(AB)^{-1} = A^{-1}B^{-1}$
|
||||||
|
|
||||||
|
Inverzní matice $A^{-1}$ k matici $A$ existuje pouze, pokud je matice $A$ regulární.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Adjungovaná matice
|
||||||
|
|
||||||
|
Adjungovaná matice je matice $A^A$, která je poskládaná z algebraických doplňků, ale **transponovaně**.
|
||||||
|
|
||||||
|
#### Určení inverzní matice pomocí determinantů
|
||||||
|
|
||||||
|
Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici.
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
@ -46,3 +46,9 @@ Nejsnadnější způsob, jak počítačově popsat lineární zobrazení.
|
||||||
3. Do matice $A_{1}$ napíšu do sloupců vektory ze druhé báze.
|
3. Do matice $A_{1}$ napíšu do sloupců vektory ze druhé báze.
|
||||||
4. Matice **spojím** do matice $A = [A_{1} \mid A_{2}]$, kterou vyřeším pomocí GJEM.
|
4. Matice **spojím** do matice $A = [A_{1} \mid A_{2}]$, kterou vyřeším pomocí GJEM.
|
||||||
5. Na **levé straně** díky GJEM dostanu **jednotkovou matici** a na **pravé straně** vznikne **matice lineárního zobrazení**.
|
5. Na **levé straně** díky GJEM dostanu **jednotkovou matici** a na **pravé straně** vznikne **matice lineárního zobrazení**.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Matice přechodu
|
||||||
|
|
||||||
|
Matice identického lineárního zobrazení vzhledem k bázím $B_{1}$ a $B_{2}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Postup je stejný jako u matice lineárního zobrazení, jen prvky první báze nezobrazuji a rovnou je zapíšu do matice.
|
|
@ -164,6 +164,12 @@ Zřejmě $\overline{\vec{x}}$ je nejbližším vektorem k $\vec{x}$ ve $V$.
|
||||||
Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě jeden prvek $\overline{\vec{x}}$ takový, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V$ a $\overline{\vec{x}} \in V$.
|
Je-li $V$ podprostorem prostoru $U$ a $\vec{x} \notin V$, potom existuje právě jeden prvek $\overline{\vec{x}}$ takový, že $\vec{x} - \overline{\vec{x}} \perp V$ a $\overline{\vec{x}} \in V$.
|
||||||
- Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.
|
- Pro každý vektor $\vec{y} \in V$ platí $\Vert \vec{x} - \vec{y} \Vert \geq \Vert \vec{x} - \overline{\vec{x}} \Vert$ a rovnost nastává, právě když $\vec{y} = \overline{\vec{x}}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Postup**:
|
||||||
|
1. Potřebujeme prvky báze $\vec{b}_{i}$ prostoru, do kterého děláme prmět a prvek $\vec{z}$, jehož průmět budeme zjišťovat.
|
||||||
|
2. Pomocí vzorečku $(\vec{b_{1}}, \vec{b_{i}}) + (\vec{b_{2}}, \vec{b_{i}}) + \dots + (\vec{b_{i}}, \vec{b_{i}}) = (\vec{z}, \vec{b_{i}})$ vytvoříme Gramovu matici.
|
||||||
|
3. Pomocí GJEM vyřešíme levou část matice, abychom zde získali jednotkovou matici.
|
||||||
|
4. Výsledkem je vektor v pravé části matice.
|
||||||
|
|
||||||
### Metoda nejmenších čtverců
|
### Metoda nejmenších čtverců
|
||||||
|
|
||||||
Metodou nejmenších čtverců je možné aproximovat funkci - najít nějakou jednodušší, která je co nejpodobnější.
|
Metodou nejmenších čtverců je možné aproximovat funkci - najít nějakou jednodušší, která je co nejpodobnější.
|
||||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue