První přednáška z DMA
This commit is contained in:
parent
2c36ee3091
commit
b3c11f3eff
1 changed files with 153 additions and 0 deletions
153
KMA DMA/Prednaska1.md
Normal file
153
KMA DMA/Prednaska1.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,153 @@
|
|||
## Množiny
|
||||
|
||||
- soubor vzájemně různých prvků (naivní reorie množin)
|
||||
|
||||
$A, B, X; a \in A, a \notin A, A \ni a$
|
||||
|
||||
Možinové operace
|
||||
- $A \cup B = \{ u \mid w \in A \vee u \in B \}$
|
||||
- $A \cap B$
|
||||
- $A \setminus B$
|
||||
|
||||
de Morganovy zákony
|
||||
- $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
|
||||
|
||||
Rovnost dvou množin
|
||||
- $A = B \iff A \leq B \wedge B \leq A$
|
||||
|
||||
Kartézský součin množin
|
||||
- $A \cdot B = \{ (a, b) \mid a \in A \wedge b \in B \}$
|
||||
- $B \cdot A = \{ (b,a) \mid b \in B \wedge a \in A \}$
|
||||
- $A_{1}\cdot A_{2}\cdot\dots \cdot A_{n} = \{ (a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}) \mid a_{i} \in A_{i} \, \forall \, i = 1, \dots, n \}$
|
||||
|
||||
Základní množiny číselné
|
||||
- $\mathbb{N}, \mathbb{N}_{0}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$
|
||||
|
||||
## Funkce
|
||||
|
||||
$F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ (reálné funkce reálné proměnné)
|
||||
|
||||
$y = e^x$ (exponenciela)
|
||||
- důležitá funkce v DMA
|
||||
- def. obor $\mathbb{R}$
|
||||
- obor hodnot $(0, +\infty)$
|
||||
- $y' = e^x$
|
||||
- $\displaystyle e^x = \sum \frac{x^n}{n!}$
|
||||
- $1 + x \leq e^x$
|
||||
|
||||
## Zobrazení
|
||||
|
||||
$F : A \to B$
|
||||
- $\forall \, a \in A \quad \exists \text{ nejvýše 1 } b \in B$
|
||||
|
||||
## Relace
|
||||
|
||||
Binární relace z množina A do množiny B
|
||||
- $\rho \leq A \times B$
|
||||
|
||||
n-ární relace $A_{1}, \dots, A_{n} \quad \rho \leq A_{1} \times \dots \times A_{n}$
|
||||
|
||||
Příklad
|
||||
- dělitelnost na $\mathbb{N} \dots \varrho$
|
||||
- $a, b \in \mathbb{N} \quad a \, \rho \, b \iff a \mid b$
|
||||
- relace rovnoběžnosti: $R^2$ přímky
|
||||
- $p \, \rho \, q \iff p \Vert q$
|
||||
|
||||
### Obory
|
||||
- levý obor relace ... zobecnění definičního oboru
|
||||
- pravý obor relace ... zobecnění oboru hodnot
|
||||
|
||||
Definice
|
||||
- $\varrho \leq A \times B$
|
||||
- levý obor: $L_{\rho} = \{ a \in A \mid \exists \, b \in B : (a, b) \in \rho \}$ nebo $a \, \rho \, b$
|
||||
- pravý obor: $R_{\rho} = \{ b \in B \mid \exists \, a \in A : (a, b) \in \rho \}$ nebo $a \, \rho \, b$
|
||||
|
||||
Příklad
|
||||
- $X = \{ 2, 3, 5 \} \quad Y = \{ 1, 4, 7, 10 \}$
|
||||
- $\rho \leq X \times Y, \quad x \, \rho \, y \iff x \mid y$
|
||||
- $\rho = \{ (2, 4), (2, 10), (5, 10) \}$
|
||||
- $L_{\rho} = \{ 2, 5 \}$
|
||||
- $P_{\rho} = \{ 4, 10 \}$
|
||||
|
||||
### Operace s relacemi
|
||||
- průnik, sjednocení, ...
|
||||
- $\rho_{1}, \rho_{2} \leq Y \times X \qquad \rho_{1} \leq \rho_{2} \quad \rho_{1} \text{ implikuje } \rho_{2}$
|
||||
|
||||
Př. $X, Y$ množina osob
|
||||
- $\rho_{1} x \text{ si tyká s } y$
|
||||
- $\rho_{2} x \text{ zná } y$
|
||||
- $\rho_{1} \leq \rho_{2}$
|
||||
|
||||
### Skládání relací (jako skládání funkcí)
|
||||
- $\rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z$
|
||||
- $\rho_{1} \circ \rho_{2} = \{ (x, z) \mid x \in X, z \in Z, \exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, \rho_{2} \, z \}$
|
||||
- obecně nekomutativní, asociativní
|
||||
|
||||
Věta o asociativitě skládání
|
||||
- $X, Y, Z, W, \quad \rho_{1} \leq X \times Y, \quad \rho_{2} \leq Y \times Z, \quad \rho_{3} \leq Z \times W$, pak platí $\rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3}) = (\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}$
|
||||
|
||||
Dk: $x \, [\rho_{1} \circ (\rho_{2} \circ \rho_{3})] \, w$
|
||||
- $\exists \, y \in Y : x \, \rho_{1} \, y \wedge y \, (\rho_{2} \circ \rho_{3}) \, w$
|
||||
- $\exists \, z \in Z : x \, \rho_{2} \, z \wedge z \, \rho_{3} \, w$
|
||||
- $\implies \exists \, y \in Y \exists z \in Z : x \rho_{1} y \wedge y \rho_{2} z \wedge z \rho_{3} w$
|
||||
- $\implies x \, [(\rho_{1} \circ \rho_{2}) \circ \rho_{3}] \, w$
|
||||
|
||||
### Relace na množině
|
||||
|
||||
$\rho \leq X \times X$
|
||||
|
||||
Př.
|
||||
- a) dělitelnost $\mathbb{N}$ - $a \, \rho \, b \iff a \mid b \quad \rho \leq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$
|
||||
- $a \, \rho \, a \quad a \mid a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid a$ - reflexivita
|
||||
- $a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \quad \forall \, a \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid a \implies a = b$ - slabá antisymetrie
|
||||
- $a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \quad \forall \, a, b, c \in \mathbb{N} : a \mid b \wedge b \mid c \implies a \mid c$ - tranzitivita
|
||||
- b) inkluze
|
||||
- $A \, \rho \, B \iff A \subseteq B$
|
||||
- $\forall \, A \in X \quad A \subseteq A$ - reflexivní
|
||||
- $\forall \, A, B \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq A \implies A = B$ - slabě antisymetrická
|
||||
- $\forall \, A, B, C \in X \quad A \subseteq B \wedge B \subseteq C \implies A \subseteq C$ - tranzitivní
|
||||
- c) $\leq R \quad$
|
||||
- $\forall \, a \in \mathbb{R} : a \leq a$ - reflexivní
|
||||
- $\forall \, a, b \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq a \implies a = b$ - slabě antisymetrická
|
||||
- $\forall \, a, b, c \in \mathbb{R} : a \leq b \wedge b \leq c \implies a \leq c$ - tranzitivní
|
||||
- $< \mathbb{R} \quad \forall \, a, b \in \mathbb{R} : a < b \implies b \cancel{\lt} a$ - silná antisymetrie
|
||||
|
||||
Vlastnosti
|
||||
- $\rho \leq X \times X$
|
||||
- $\rho$ reflexivní, pokud $\forall \, a \in X : a \, \rho \, a$
|
||||
- $\rho$ slabě antisymetrická, pokud $\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a \implies a = b$
|
||||
- $\rho$ silně antisymetrická, pokud $\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \cancel\rho \, a$
|
||||
- $\rho$ symetrická, pokud $\forall \, a, b \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, a$
|
||||
- $\rho$ tranzitivní, pokud $\forall \, a, b, c \in X : a \, \rho \, b \wedge b \, \rho \, c \implies a \, \rho \, c$
|
||||
- $\rho$ ekvivalentní, pokud $\rho$ je reflexivní, symetrická a tranzitivní
|
||||
- $\rho$ tolerantní, pokud $\rho$ je reflexivní a symetrická
|
||||
|
||||
Třídy ekvivalence
|
||||
- Př. Matice řádu $n$ ... $A \, \rho \, B \iff hod A = hod B$
|
||||
|
||||
### Rozklad množiny
|
||||
|
||||
$X, \{ B_{i} \}_{i \in I}$
|
||||
1) $B_{i} \neq \emptyset \quad \forall \, i \in I$
|
||||
2) $B_{i} \cap B_{j} = \emptyset \quad \forall \, i \neq j$
|
||||
3) $\cup_{i\in I} \, B_{i} = X$
|
||||
|
||||
mezi ekvivalencí a rozklady existuje vzájemně jednoznačný vztah - bijekce
|
||||
|
||||
[?] kolik existuje rozkladů n-prvkové množiny
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
## Rekurentní počítání
|
||||
|
||||
- Př. (Fibonacciho čísla) - 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...
|
||||
- Jak zjistit 1000. člen?
|
||||
- $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}, \quad F_{1} = 1, F_{2} = 1$
|
||||
- $F_n$ jako funkce n?
|
||||
- $F_{n-1} = F_{n-1}$
|
||||
- $f_{n} = (F_{n}, F_{n-1})^T, \quad f_{n-1} = (F_{n-1}, F_{n-2})^T$
|
||||
- $F_{n} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} f_{n-1} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^2 f_{n-2} = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}^{n-1} f_{1}$
|
||||
- $A = \begin{bmatrix}1 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$
|
||||
- $f_{n} = A \cdot f_{n-1}$
|
||||
- $A = T \cdot J \cdot T^{-1}$
|
||||
- $A^n = T \cdot J^n \cdot T^{-1} = T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1} \cdot \dots \cdot T \cdot J^n \cdot T^{-1}$
|
Loading…
Reference in a new issue