Přidání vypracované otázky na tlumený oscilátor z FYI
This commit is contained in:
parent
573499105a
commit
b3150c0889
1 changed files with 89 additions and 1 deletions
|
@ -219,12 +219,100 @@ Práce vnější síly
|
|||
- konzervativní silové pole nezpůsobuje ztrátu ani zisk celkové mechanické energie systému
|
||||
|
||||
### Popište a vysvětlete tlumený harmonický oscilátor
|
||||
- výchozí podmínky - všechny působící síly
|
||||
- výchozí podmínky, všechny působící síly
|
||||
- sestavení pohybové rovnice - její řešení pro různé velikosti tlumení (včetně grafů)
|
||||
- jaká je perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmitavého řešení
|
||||
- co je to útlum a kvalita oscilátoru
|
||||
- stav velmi malého tlumení
|
||||
|
||||
#### Výchozí podmínky, všechny působící síly
|
||||
|
||||
Tlumený harmonický oscilátor je systém, který vykazuje oscilace (kmitání) kolem rovnovážné polohy, přičemž tyto oscilace postupně ztrácejí energii v důsledku **odporových sil** (tlumení).
|
||||
|
||||
Tlumící (odporová) síla působící na pružinu
|
||||
- $\displaystyle\vec{F}_{t} = -B\cdot \vec{v} = -B\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}$
|
||||
- $B$ - koeficient tlumení
|
||||
- $\vec{r}$ - průvodič (poloha)
|
||||
|
||||
Síla pružiny
|
||||
- $F = -k\cdot y$
|
||||
- $k$ - tuhost pružiny
|
||||
- $y$ - výchylka od rovnovážné polohy
|
||||
|
||||
Úpravy vzorce
|
||||
- $\displaystyle m\cdot a = -k\cdot y - B\cdot \frac{dy}{dt}$
|
||||
- $F = m\cdot a$ - podle 2. NZ
|
||||
- síla je rovna síle pružiny a přidané tlumící síle
|
||||
- v jednorozměrném případě vznikne rovnice níže
|
||||
- $\displaystyle m\cdot \frac{d^2y}{dt^2} = -k\cdot y - B\cdot \frac{dy}{dt}$
|
||||
- tento vzorec upravíme
|
||||
- $\displaystyle\frac{d^2y}{dt^2} + \frac{B}{m} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{k}{m} \cdot y = 0$
|
||||
- $\displaystyle\ddot{y} + \frac{B}{m} \cdot \dot{y} + \frac{k}{m} \cdot y = 0$
|
||||
|
||||
#### Sestavení pohybové rovnice a její řešení (vč. grafů)
|
||||
|
||||
Vlastní úhlová frekvence
|
||||
- $\displaystyle\frac{k}{m} = \omega^2$
|
||||
- vlastní, jelikož platí pro netlumenou soustavu
|
||||
|
||||
Konstanta útlumu
|
||||
- $\displaystyle\frac{B}{m} = 2b$
|
||||
- $b$ vyjadřuje intenzitu účinku brzdících sil
|
||||
|
||||
**Pohybová rovnice**
|
||||
- dosadíme předchozí vztahy
|
||||
- $\ddot{y} + 2b\dot{y} + \omega^2y = 0$
|
||||
|
||||
Řešení
|
||||
- dosadíme partikulární integrál do rovnice výše
|
||||
- $\alpha^2 + 2b\alpha + \omega^2 = 0$
|
||||
- je to kvadratická rovnice, můžeme tedy napsat její řešení
|
||||
- $\alpha_{1,2} = -b \pm \sqrt{ b^2 - \omega^2 }$
|
||||
- existují tak dvě partikulární řešení a obecné řešení bude mít tvar:
|
||||
- $y = C_{1}\cdot e^{\alpha_{1}t} + C_{2}\cdot e^{\alpha_{2}t}$
|
||||
- o konkrétním tvaru rozhodne velikost konstant $b$ a $\omega$
|
||||
|
||||
#### Perioda, amplituda a energie oscilátoru u kmit. řešení
|
||||
|
||||
Úhlová frekvence tlumených kmitů
|
||||
- $\omega_{1} = \sqrt{ \omega^2 - b^2 }$
|
||||
|
||||
Perioda tlumených kmitů
|
||||
- $\displaystyle T = \frac{2\pi}{\omega_{1}}$
|
||||
|
||||
Amplituda tlumených kmitů
|
||||
- $A_{1} = A \cdot e^{-bt}$
|
||||
- $A$ - původní amplituda
|
||||
- amplituda s časem klesá
|
||||
|
||||
Energie tlumeného oscilátoru
|
||||
- $\displaystyle W = \frac{1}{2}m\omega^2_{1}A^2\cdot e^{-2bt}$
|
||||
|
||||
#### Útlum a kvalita oscilátoru
|
||||
|
||||
Útlum
|
||||
- poměr dvou po sobě jdoucích maximálních výchylek na jednu stranu
|
||||
- v časech $t$ a $t + T_{1}$ (plus doba kmitu)
|
||||
- $\displaystyle\lambda = \frac{y(t)}{y(t+T_{1})} = e^{bT_{1}}$
|
||||
|
||||
Kvalita oscilátoru
|
||||
- $2\pi$ násobek podílu **střední hodnoty celkové energie** oscilátoru v jedné periodě a **ztráty této energie** během jedné periody kmitů
|
||||
- $\displaystyle Q = 2\pi\cdot \frac{W_{\text{stř.}}}{W_{1}}$
|
||||
|
||||
#### Stav velmi malého tlumení
|
||||
|
||||
- využívá se v elektronice
|
||||
- konstanta tlumení je daleko menší než vlastní frekvence oscilátoru
|
||||
- $b \ll \omega$
|
||||
|
||||
Kvalita oscilátoru (při velmi malém tlumení)
|
||||
- v tomto případě se amplituda i energie zmenší **jen nepatrně**
|
||||
- střední hodnota energie je přibližně rovna okamžité energii
|
||||
- $W_{\text{stř.}} \approx W$
|
||||
- frekvence kmitů je přibližně rovna vlastní frekvenci oscilátoru
|
||||
- $\omega_{1} = \sqrt{ \omega^2-b^2 } \approx \omega$
|
||||
- $\displaystyle Q = \frac{\omega}{2b}$
|
||||
|
||||
### Popište a vysvětlete nucený harmonický oscilátor
|
||||
- výchozí podmínky, všechny působící síly
|
||||
- pohybová rovnice, obecné a ustálené řešení
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue