Přidání prvních dvou okruhů z NM
This commit is contained in:
parent
7c80508a80
commit
89fda3155a
2 changed files with 193 additions and 0 deletions
84
KMA NM/Zkouška/01. okruh.md
Normal file
84
KMA NM/Zkouška/01. okruh.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,84 @@
|
||||||
|
**Základní pojmy. Matematický model, matematická úloha, korektní úloha, podmíněnost úlohy, číslo podmíněnosti, podmíněnost a stabilita algoritmu. Příklady.**
|
||||||
|
|
||||||
|
**Proces modelování** (kroky)
|
||||||
|
- reálný problém
|
||||||
|
- matematický model
|
||||||
|
- reálný problém popisuje matematickými veličinami a vztahy
|
||||||
|
- matematická úloha
|
||||||
|
- určení, které veličiny známe a které počítáme
|
||||||
|
- numerická úloha
|
||||||
|
- neznáme metodu pro nalezení přesného řešení, volíme přibližnou metodu
|
||||||
|
- problém např. musíme diskretizovat
|
||||||
|
- chyba metoda (chyba diskretizace)
|
||||||
|
- algoritmus
|
||||||
|
- TODO
|
||||||
|
- implementace
|
||||||
|
- analýza výsledků
|
||||||
|
|
||||||
|
### Korektní úloha
|
||||||
|
|
||||||
|
**Definice (úloha)**
|
||||||
|
- Mějme dány dvě množiny $X$ (vstupní data) a $Y$ (výstupní data). Předpokládejme, že $X, Y$ jsou Banachovy prostory (úplné + normovaný). Úlohou rozumíme relaci $y = U(x); \, x \in X_{i}; \, y \in Y$.
|
||||||
|
|
||||||
|
**Definice (korektní úloha)**
|
||||||
|
- Úloha je korektní na dvojici prostorů $(X,Y)$, když:
|
||||||
|
- $\forall \, x \in X \quad \exists! \, y \in Y: \quad y = U(x)$ ... zobrazení
|
||||||
|
- $\forall \, \{x_{n}\}: x_{n} \to x_{i} \cup (x_{n}) = y_{n} : y_{n} \to y = U(x)$
|
||||||
|
- řešení $y$ spojitě závisí na vstupních datech
|
||||||
|
|
||||||
|
### Podmíněnost úlohy
|
||||||
|
|
||||||
|
**Definice (dobrá podmíněnost)**
|
||||||
|
- Úloha je dobře podmíněná, jestliže malá relativní změna na vstupu vyvolá malou relativní změnu řešení.
|
||||||
|
**Číslo podmíněnosti**
|
||||||
|
- je-li $C_{p} \approx_{1}$, úloha je velmi dobře podmíněná
|
||||||
|
- v praxi hovoříme o špatně podmíněné úloze pro $C_{p} \geq 100$
|
||||||
|
- $\displaystyle C_{p} = \frac{\frac{\Vert \Delta y\Vert}{\Vert y\Vert}}{\frac{\Vert \Delta x\Vert}{\Vert x\Vert}}$
|
||||||
|
- $\displaystyle\frac{\Vert\Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{\vert U(\overline{x}+ \Delta x) - U(\overline{x}) \vert}{\vert U(\overline{x}) \vert}$
|
||||||
|
- horní část - relativní chyba na výstupu $y$
|
||||||
|
- dolní část - relativní chyba na vstupu $x$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Stabilita a podmíněnost algoritmu
|
||||||
|
|
||||||
|
**Stabilní algoritmus**
|
||||||
|
- dobře podmíněný - málo citlivý na poruchy ve vstupních datech
|
||||||
|
- numericky stabilní - málo citlivý na vliv zaokrouhlovaných chyb
|
||||||
|
|
||||||
|
**Nestabilní algoritmus**
|
||||||
|
- relativně malé chyby v jednotlivých krocích se akumulují tak, že dojde ke katastrofální ztrátě přesnosti řešení
|
||||||
|
|
||||||
|
U stabilních metod roste chyba výsledku nejvýše lineárně.
|
||||||
|
- sčítáním a odčítáním můžeme ztratit hodně informací (desetinných míst) - to může vést k nestabilitě
|
||||||
|
- **reziduum**
|
||||||
|
- $r = b-A\overline{x}$
|
||||||
|
- míra chyby mezi přesným a přibližným řešením
|
||||||
|
- vyjde nula, když dostaneme přesné řešení
|
||||||
|
- **chyba**
|
||||||
|
- $e = \overline{x} - x^*$
|
||||||
|
- rozdíl mezi přibližným a přesným výsledkem
|
||||||
|
- když se nám rapidně zvyšuje chyba, ale reziduum je stále blízké nule, tak se jedná o **nestabilní algoritmus**
|
||||||
|
|
||||||
|
### Příklady - podmíněnost
|
||||||
|
|
||||||
|
Posuďte podmíněnost úlohy určit hodnotu fce $y = \sin(x)$.
|
||||||
|
- **a)** v bodě $3.14$
|
||||||
|
- $\overline{x} = 3.14, \Delta x = 0.01$ - malá změna na vstupu
|
||||||
|
- $y = \sin \overline{x} \approx 1.5327\cdot10^{-3}$
|
||||||
|
- $\sin(\overline{x}+\Delta x) = -8.4072\cdot10^{-3}$
|
||||||
|
+ relativní změna na vstupu: $\displaystyle\frac{\Vert\Delta x\Vert}{\Vert\overline{x}\Vert} = \frac{0.01}{3.14} \doteq 0.0031847$
|
||||||
|
+ relativní změna na výstupu: $\displaystyle\frac{\Vert\Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{\Vert\sin(\overline{x}+\Delta x) - \sin \overline{x}\Vert}{\Vert\sin \overline{x} \Vert} \doteq 6.2789149$
|
||||||
|
+ $C_{p} \doteq 1971.6$ - špatně podmíněná úloha
|
||||||
|
- **b)** v bodě $-0.1$
|
||||||
|
- $\overline{x} = -0.01, \Delta x = 0.01$
|
||||||
|
- $y = \sin \overline{x} = -0.0099998$
|
||||||
|
- $\sin(\overline{x} + \Delta x) = \sin 0 = 0$
|
||||||
|
- relativní změna na vstupu: $\displaystyle\frac{\Vert \Delta x\Vert}{\Vert \overline{x}\Vert} = \frac{0.01}{0.01} = 1$
|
||||||
|
- relativní změna na výstupu: $\displaystyle\frac{\Vert \Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{0.0099998}{0.0099998} = 1$
|
||||||
|
- $\displaystyle C_{p} = \frac{1}{1} = 1$ - velmi dobře podmíněná úloha
|
||||||
|
|
||||||
|
Obecně
|
||||||
|
- úloha má tvar $y = f(x)$
|
||||||
|
- z věty o stř. hodnotě: $\vert \Delta y\vert \approx \vert f'(x)\vert \cdot \vert \Delta x\vert$
|
||||||
|
- dosadíme: $\displaystyle\left|\frac{\Delta y}{y}\right| \approx \left| \frac{f'(x)\cdot|\Delta x|}{f(x)}\right|$
|
||||||
|
- rozšíříme $\displaystyle\cdot \left|\frac{x}{x}\right|$: $\displaystyle\left| \frac{\Delta y}{y} \right| \approx \left| \frac{f'(x)\cdot x}{f(x)} \right| \cdot \left| \frac{\Delta x}{x} \right|$
|
||||||
|
- $\displaystyle C_{p} = \left| \frac{x\cdot f'(x)}{f(x)} \right|$
|
109
KMA NM/Zkouška/02. okruh.md
Normal file
109
KMA NM/Zkouška/02. okruh.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,109 @@
|
||||||
|
**Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav. Metoda prosté iterace, podmínky konvergence, odhad chyby, rychlost konvergence. Newtonova metoda a její konvergence.**
|
||||||
|
|
||||||
|
### Nelineární rovnice
|
||||||
|
|
||||||
|
Formulace problému
|
||||||
|
- Je dána fce $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ na intervalu $\langle a,b \rangle$. Hledáme $x \in \langle a,b\rangle$ takové, aby $f(x) = 0$.
|
||||||
|
- $x$ ... kořen rovnice
|
||||||
|
|
||||||
|
Metody řešení
|
||||||
|
- **startovací metody** (vždy konvergují)
|
||||||
|
- většinou konvergují pomalu (např. zúžení intervalu možného řešení)
|
||||||
|
- metoda bisekce (půlení intervalu)
|
||||||
|
- metoda regula falsi
|
||||||
|
- metoda prosté iterace
|
||||||
|
- **zpřesňující metody**
|
||||||
|
- většinou fungují rychle, ale špatně (musíme být s počáteční hodnotou velmi blízko)
|
||||||
|
- Newtonova metoda
|
||||||
|
- metoda sečen
|
||||||
|
- **speciální metody**
|
||||||
|
|
||||||
|
**Věta (o existenci řešení)**
|
||||||
|
- Předpokládejme, že:
|
||||||
|
1. reálná fce $f$ je spojitá pro $x \in \langle a,b\rangle$
|
||||||
|
2. $f(a) \cdot f(b) < 0 \implies \exists$ alespoň jedno řešení $x$ rovnice $f(x) = 0$ na $\langle a,b\rangle$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Metoda prosté iterace (MPI)
|
||||||
|
|
||||||
|
Princip
|
||||||
|
- původní rovnici $f(x) = 0$ přepíšeme na tvar $x = \varphi(x)$
|
||||||
|
- to můžeme udělat spoustou způsobů
|
||||||
|
- na volbě $\varphi$ závisí konvergence a její rychlost
|
||||||
|
|
||||||
|
Algoritmus
|
||||||
|
1. zvolíme $x_{0} \in \langle a,b\rangle$ a $\epsilon > 0$
|
||||||
|
2. $x_{k+1} = \varphi(x_{k})$
|
||||||
|
3. zastavovací podmínka: $|x_{k+1}-x_{k}| < \epsilon$, pak $x = x_{k+1}$
|
||||||
|
- vzdálenost dvou po sobě jdoucích iterací
|
||||||
|
- neříká nic o tom, jak jsme daleko od kořenu
|
||||||
|
|
||||||
|
Volba $\varphi(x)$
|
||||||
|
- závisí na ní konvergence a rychlost metody
|
||||||
|
- je vhodné, aby se fce $\varphi(x)$ co nejvíce blížila konstantní funkci
|
||||||
|
- rada: začít s největší možnou odmocninou
|
||||||
|
- u polynomu to bude fungovat vždy, u jiných fcí dobrá rada
|
||||||
|
|
||||||
|
**Postačující podmínky konvergence MPI**
|
||||||
|
- Předpokládejme, že fce $\varphi$ je na intervalu $I = \langle a,b\rangle$ spojitá a platí:
|
||||||
|
1. $\forall x \in I : \varphi(x) \in I$ ... fce $\varphi$ zobrazuje $I$ do sebe
|
||||||
|
2. $\exists \, q \in (0,1) : |\varphi(x)-\varphi(y)| \leq q|x-y| \quad \forall x,y \in I$ ... fce $\varphi$ je kontrakce
|
||||||
|
- tím si zajistíme, že každý další dílek je menší než ten předchozí
|
||||||
|
- 2 po sobě jdoucí iterace jsou si k sobě čím dál blíž a blíž
|
||||||
|
- $\implies$
|
||||||
|
1. v intervalu $I$ existuje právě jeden kořen $\alpha$ rovnice $x = \varphi(x)$
|
||||||
|
2. posloupnost $\{x_{k}\}^\infty_{k=1}$ určená formulí $x_{k} = \varphi(x_{k-1})$ konverguje pro každé $x_{0} \in I$ a $\lim_{ k \to \infty } x_{k} = \alpha$ (konverguje k přesnému řešení)
|
||||||
|
- pozn: pokud by nebyla fce spojitá, vůbec by nemusela projít skrz $y = x$
|
||||||
|
|
||||||
|
**Odhad chyby MPI**
|
||||||
|
- chyba = vzdálenost mezi přesným a získaným řešením ... $|x_{k} - \alpha|$
|
||||||
|
- $\displaystyle|x_{k}-\alpha| < \frac{q}{1-q}\epsilon$
|
||||||
|
- $|x_{k} - x_{k-1}| = \epsilon$
|
||||||
|
- kvůli absolutní hodnotě nevíme z jaké strany od přesného řešení jsme
|
||||||
|
- čím menší $q$, tím menší bude chyba
|
||||||
|
- chceme, aby chyba byla rovna zastavovací podmínce nebo menší
|
||||||
|
|
||||||
|
**Rychlost konvergence**
|
||||||
|
- Posloupnost $x_{k}$ konverguje k číslu $\alpha$ rychlostí $r$, jestliže pro $k\to \infty$:
|
||||||
|
- $|x_{k+1}-\alpha| = c|x_{k}-\alpha|^r+O(|x_{k}-\alpha|^{r+1})$
|
||||||
|
- pokud
|
||||||
|
- $\varphi(\alpha) \neq 0 \implies$ rychlost konvergence je řádu 1
|
||||||
|
- $\varphi(\alpha) = 0$ a $\varphi''(\alpha) \neq 0 \implies$ rychlost konvergence je řádu 2
|
||||||
|
|
||||||
|
### Newtonova metoda
|
||||||
|
|
||||||
|
Předpoklady
|
||||||
|
- v intervalu $I = \langle a,b\rangle$ leží právě 1 jednoduchý kořen $\hat{x}$ rovnice $f(x) = 0$
|
||||||
|
- máme zadáno $x_{0} \in I$ (relativně blízko hledanému řešení - zpřesňující metoda)
|
||||||
|
- existuje příslušná derivace funkce $f$
|
||||||
|
|
||||||
|
Princip
|
||||||
|
- uděláme Taylorův rozvoj fce $f$ v $x_{0}$
|
||||||
|
- $f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) + f''(\xi)$
|
||||||
|
- dosadíme do $f(x) = 0$
|
||||||
|
- $f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) = 0$
|
||||||
|
- $(x-x_{0})$ - předpis pro tečnu
|
||||||
|
- vyjádříme $x$
|
||||||
|
- $\displaystyle x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$
|
||||||
|
- $\displaystyle x_{k+1} = k_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$ ... iterační formule
|
||||||
|
|
||||||
|
Zastavovací podmínka
|
||||||
|
- vzdálenost 2 po sobě jdoucích iterací (na ose x)
|
||||||
|
- $|x_{k+1}-x_{k}| < \epsilon$
|
||||||
|
- velikost funkční hodnoty (na ose y)
|
||||||
|
- $|f(x_{k})| < \delta$
|
||||||
|
|
||||||
|
Geometrický význam (metoda tečen)
|
||||||
|
- křivky $y = f(x)$ nahradíme tečnou procházející bodem $x_{k}$
|
||||||
|
- hodnota $x_{k+1}$ - průsečík tečny s osou $x$
|
||||||
|
|
||||||
|
**Postačující podmínka konvergence**
|
||||||
|
- $f'(x) \neq 0$
|
||||||
|
- $f''$ nemění znaménko v $I = \langle a,b\rangle$
|
||||||
|
- $f(a)\cdot f(b) < 0$
|
||||||
|
- $\displaystyle\left| \frac{f(a)}{f'(a)} \right| < b-a, \left| \frac{f(b)}{f'(b)} \right| < b-a$
|
||||||
|
- $\implies$ Newtonova metoda konverguje, pokud $\forall \, x_{0} \in I$
|
||||||
|
|
||||||
|
Rychlost konvergence
|
||||||
|
- $\displaystyle\varphi(x) = x - \frac{f(x)}{f'(x)}$
|
||||||
|
- rychlost konvergence závisí na $\varphi'(\alpha)$ resp. $\varphi''(\alpha)$
|
||||||
|
- platí $\varphi'(\alpha) = 0$ a obecně $\varphi''(\alpha) \neq 0 \implies$ rychlost konvergence je řádu 2
|
Loading…
Reference in a new issue