Přidání 9. příkladu z FYI
This commit is contained in:
parent
b71a0bd5cb
commit
8488f29200
2 changed files with 59 additions and 0 deletions
55
KFY FYI1/Priklad09.md
Normal file
55
KFY FYI1/Priklad09.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,55 @@
|
||||||
|
### Zadání
|
||||||
|
|
||||||
|
Koule zadaného poloměru mírně kývá na závěsu zadané délky. Spočtěte: dobu kyvu kyvadla. Jaké chyby se dopustíme, budeme-li kouli považovat za bodovou hmotnost? (kyv = pohyb ze strany na stranu, kmit = 2 kyvy = pohyb z jedné strany na druhou a zpět)
|
||||||
|
|
||||||
|
- $R$ - poloměr koule
|
||||||
|
- $l$ - délka závěsu
|
||||||
|
- $T_{kyvadla} = \, ?$
|
||||||
|
- chyba pro $R \to 0 = \, ?$
|
||||||
|
- netlumené kmity (tření)
|
||||||
|
- tíhové pole Země
|
||||||
|
|
||||||
|
![](_assets/priklad9.svg)
|
||||||
|
|
||||||
|
- 2. impulzová věta (pohybová rovnice pro rotaci tuhého tělesa)
|
||||||
|
- $J \cdot \vec \epsilon = -\vec M$
|
||||||
|
- $\vec M = \vec I \cdot \vec G$
|
||||||
|
- $M = \vert \vec M \vert = \vert \vec I \vert \cdot \vert \vec G \vert \cdot \sin \varphi = l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi$
|
||||||
|
- $J$ - moment setrvačnosti
|
||||||
|
- $\displaystyle \vec \epsilon = \frac{d\vec w}{dt} = \frac{d^2\vec\varphi}{dt^2}$
|
||||||
|
- Steinerova věta
|
||||||
|
- $\displaystyle J \cdot \frac{d^2 \varphi}{dt^2} = -M$
|
||||||
|
- $J = J_{0} + m \cdot l^2 = \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2$
|
||||||
|
- $J_{0} = \frac{2}{5}m\cdot R$ (moment setrvačnosti koule - symetrická osa)
|
||||||
|
|
||||||
|
### Výpočet
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} = -l\cdot m\cdot \sin \varphi$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 + m \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot m \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle \left( \frac{2}{5} m R^2 \cdot l^2 \right) \cdot \frac{d^2\varphi}{dt^2} + l \cdot g \cdot \sin \varphi = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \sin \varphi = 0$
|
||||||
|
- pro $\varphi < 5^\circ \implies \sin \varphi \simeq \varphi$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} \cdot \varphi = 0$
|
||||||
|
- $\displaystyle \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2 + l ^2} = \omega^2$ - úhlová rychlost
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle\frac{d^2\varphi}{dt^2} + \omega^2 \cdot \varphi = 0$
|
||||||
|
- lineární harmonický oscilátor
|
||||||
|
- ... víme, že $\displaystyle\omega = \frac{2\pi}{T}$, kde $T$ je perioda (doba kmitu)
|
||||||
|
- $\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\omega}$
|
||||||
|
|
||||||
|
$\displaystyle T_{kyv} = \frac{\pi}{\sqrt{ \frac{l \cdot g}{\frac{2}{5}R^2+l^2} }} = \pi \cdot \frac{\sqrt{ l \cdot \left[ \frac{2}{5}\left( \frac{R}{l} \right)^2+1 \right] }}{l \cdot g} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} } \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left( \frac{R}{l}^2 + 1 \right) }$
|
||||||
|
|
||||||
|
### Výsledek
|
||||||
|
|
||||||
|
pro $\displaystyle R \to 0 \implies T_{kyv} = \pi \cdot \sqrt{ \frac{l}{g} }$
|
||||||
|
- doba kyvu matematického kyvadla
|
||||||
|
|
||||||
|
bude-li R 10% délky závěsu l ($R = 0.1 \cdot l$)
|
||||||
|
- $\displaystyle T_{kyv} = T^M_{kyv} \cdot \sqrt{ \frac{2}{5} \left(\frac{0.1 \cdot l}{l}\right)^2 +1 } = T^M_{kyv \cdot \sqrt{ 1.004 }} = T^M_{kyv} \cdot 1,002$
|
||||||
|
- chyba by byla 0.2%
|
4
KFY FYI1/_assets/priklad9.svg
Normal file
4
KFY FYI1/_assets/priklad9.svg
Normal file
File diff suppressed because one or more lines are too long
After Width: | Height: | Size: 10 KiB |
Loading…
Reference in a new issue