Úprava poznámek k posloupnostem v M1
This commit is contained in:
parent
72e14fd6ac
commit
73683c4e67
1 changed files with 21 additions and 13 deletions
|
@ -1,6 +1,11 @@
|
||||||
# Posloupnosti
|
# Posloupnosti
|
||||||
|
|
||||||
## Zadání
|
**Posloupnost reálných čísel** je zobrazení s definičním oborem $\mathbb{N}$ a oborem hodnot $H \subset \mathbb{R}$, tj. každému indexu $n \in \mathbb{N}$ je přířazen právě jeden člen $a_{n} \in \mathbb{R}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
Možné zápisy pro posloupnost:
|
||||||
|
- $\displaystyle (a_{n}), \quad (a_{n})_{n=1}^{+\infty}, \quad (a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots), \quad (a_{n})_{n\in \mathbb{N}}$.
|
||||||
|
|
||||||
|
### Zadání
|
||||||
|
|
||||||
| typ | příklad |
|
| typ | příklad |
|
||||||
| ----------------------- | ------------------------------------------------------------- |
|
| ----------------------- | ------------------------------------------------------------- |
|
||||||
|
@ -8,21 +13,21 @@
|
||||||
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}$ |
|
| implicitní (rekurentní) | $\begin{cases} a_{n+1} = a_n + 2 \newline a_1 = 2\end{cases}$ |
|
||||||
| graf posloupnosti | $(n, a_{n})$ |
|
| graf posloupnosti | $(n, a_{n})$ |
|
||||||
|
|
||||||
## Omezenost
|
### Omezenost
|
||||||
|
|
||||||
Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
|
Posloupnost $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je omezená (zdola, shora), je-li množina $H$ omezená (zdola, shora).
|
||||||
|
|
||||||
| značení | typ | příklad |
|
| značení | typ | podmínka | příklad |
|
||||||
| ------- | ----------------------- | --------- |
|
| ------- | ----------------------- | ------------------------------------------------------------------------------- | --------- |
|
||||||
| **O** | omezená (shora i zdola) | $(-1)^n$ |
|
| **OZ** | omezená zdola | $\exists \, d \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : d \leq a_{n}$ | $(n-8)^2$ |
|
||||||
| **OS** | omezená shora | $4-n$ |
|
| **OS** | omezená shora | $\exists \, h \in \mathbb{R} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : a_{n} \leq h$ | $4-n$ |
|
||||||
| **OZ** | omezená zdola | $(n-8)^2$ |
|
| **O** | omezená (shora i zdola) | $\exists \, c > 0 \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : \vert a_{n} \vert \leq c$ | $(-1)^n$ |
|
||||||
|
|
||||||
### Minimum, maximum, infimum a supremum
|
### Minimum, maximum, infimum a supremum
|
||||||
|
|
||||||
Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$.
|
Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max, inf, sup) množiny $H$.
|
||||||
|
|
||||||
## Monotonie
|
### Monotonie
|
||||||
|
|
||||||
Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je
|
Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je
|
||||||
|
|
||||||
|
@ -44,9 +49,11 @@ Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max
|
||||||
### Vlastní limita
|
### Vlastní limita
|
||||||
|
|
||||||
Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
|
Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud
|
||||||
$$\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.$$
|
$$\displaystyle \forall \, \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists \, n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall \, n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.$$
|
||||||
|
|
||||||
Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$.
|
Píšeme
|
||||||
|
- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$
|
||||||
|
- $a_{n} \to a$
|
||||||
|
|
||||||
Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
|
Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$
|
||||||
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
|
- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem
|
||||||
|
@ -68,9 +75,9 @@ Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu.
|
||||||
### Algebra vlastních limit
|
### Algebra vlastních limit
|
||||||
|
|
||||||
Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
|
Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak
|
||||||
1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \cdot a_{n} + \beta \cdot b_{n}) = \alpha \cdot a + \beta \cdot b$, pokud je pravá strana definována,
|
||||||
|
|
||||||
2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována,
|
2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b$, pokud je pravá strana definována,
|
||||||
|
|
||||||
3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována.
|
3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována.
|
||||||
|
|
||||||
|
@ -81,7 +88,7 @@ Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n
|
||||||
|
|
||||||
## Konvergence a divergence
|
## Konvergence a divergence
|
||||||
|
|
||||||
Řekněme, že $(a_n)$ je
|
Řekněme, že posloupnost $(a_n)$ je
|
||||||
|
|
||||||
| značka | typ | podmínka |
|
| značka | typ | podmínka |
|
||||||
| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
|
| ------ | ----------------------- | -------------------------------- |
|
||||||
|
@ -91,6 +98,7 @@ Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n
|
||||||
| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
|
| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ |
|
||||||
|
|
||||||
### Omezenost a limity
|
### Omezenost a limity
|
||||||
|
|
||||||
1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
|
1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**)
|
||||||
|
|
||||||
2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
|
2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**)
|
||||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue