Doplnění LVP v LAA
This commit is contained in:
parent
eccc0f4913
commit
5d6e66174c
1 changed files with 34 additions and 5 deletions
|
@ -25,17 +25,46 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K:
|
|||
| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \times \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ |
|
||||
| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \times (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ |
|
||||
|
||||
Mějme vektorový prostor V nad tělesem K. Množina $U \subseteq V$ je podprostorem V, pokud platí:
|
||||
1) $\forall \vec{u}, \vec{v} \in U : \vec{u} + \vec{v} \in U$
|
||||
2) $\forall \vec{u} \in U, \forall a \in K : a \times \vec{u} \in U$
|
||||
- vyplývá, že v $U$ bude nulový vektor
|
||||
### Podprostor
|
||||
|
||||
Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestliže
|
||||
1) pro každé $\vec{u}, \vec{v} \in U$ je $\vec{u} + \vec{v} \in U$
|
||||
2) pro každé $\vec{u} \in U$ a pro každé $a \in K$ je $a \cdot \vec{u} \in U$
|
||||
- vyplývá, že v podprostoru $U$ bude vždy i nulový vektor ($a = 0$)
|
||||
|
||||
Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem.
|
||||
|
||||
### Generující množina
|
||||
|
||||
Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$.
|
||||
|
||||
### Báze
|
||||
|
||||
Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
|
||||
- zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$
|
||||
|
||||
Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu do sloupců matice a provedu GJEM -> tím zjistím, jestli se nedá některý z vektorů vyjádřit jako LK jiného vektoru (tedy vyjde jako parametr).
|
||||
|
||||
#### Dimenze V
|
||||
|
||||
Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$.
|
||||
|
||||
#### Souřadnice v bázi
|
||||
|
||||
Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B.
|
||||
- značí se $\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T$
|
||||
|
||||
Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic: $$B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]$$ $$B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]$$
|
||||
Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
|
||||
|
||||
$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||||
$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||||
|
||||
|
||||
### Lineární obal
|
||||
|
||||
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
|
||||
- $<\vec{u}; \vec{v}>$
|
||||
- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|
||||
|
||||
### Operace s podprostory
|
||||
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue