Přidání poznámek k maticím v LAA
This commit is contained in:
parent
1f6430d991
commit
4be88885d1
2 changed files with 71 additions and 19 deletions
|
@ -4,8 +4,8 @@ Maticí **typu m/n** nazveme soubor (tabulku) m x n prvků (čísel) $a_{ij}$ za
|
|||
|
||||
| značení | význam |
|
||||
| ---------- | -------------------------- |
|
||||
| ($i$, $j$) | pozice v matici |
|
||||
| $a_{ij}$ | prvek na pozici ($i$, $j$) |
|
||||
| $(i, j)$ | pozice v matici |
|
||||
| $a_{ij}$ | prvek na pozici $(i, j)$ |
|
||||
| $i$ | řádkový index |
|
||||
| $a_{kk}$ | diagonální prvek matice |
|
||||
| $m/n$ | typ matice: $m$ řádků, $n$ sloupců |
|
||||
|
|
|
@ -1,25 +1,77 @@
|
|||
# Hodnost matice
|
||||
|
||||
- počet nenulových řádků matice
|
||||
- počet lineárně nezávislých vektorů prostoru generujícího řádky (dimenzi tohoto prostoru) a zároveň počtu lineárně nezávislých vektorů generující prostor sloupcový (dimenze tohoto prostoru)
|
||||
|
||||
#### Dělení matic
|
||||
- **Regulární matice**
|
||||
- její hodnost se rovná jejímu řádu - $hod(A) = n$
|
||||
- její determinant je nenulový - $\det{A} \neq 0$
|
||||
- každou regulární matici lze řádkovými elementárními úpravami převést na jednotkovou matici
|
||||
- existuje k ní inverzní matice - $\mbox{existuje } A^{-1}$
|
||||
- **Singulární matice**
|
||||
- její hodnost se je menší než její řádu - $hod(A) < n$
|
||||
- její determinant je 0 - $\det{A} = 0$
|
||||
- neexistuje k ní inverzní matice - $\mbox{neexistuje } A^{-1}$
|
||||
### Řádkový a sloupcový prostor matice
|
||||
|
||||
U matice A typu $m/n$ je
|
||||
- lineární obal všech **řádkových vektorů** (řádků) nazýván **řádkovým prostorem** matice A;
|
||||
- lineární obal všech **sloupcových vektorů** (sloupců) nazýván **sloupcovým prostorem** matice A.
|
||||
|
||||
Dimenzi řádkového nebo sloupcového prostoru nazveme **řádkovou (sloupcovou) hodností** matice A a značíme ji $hod^r(A)$ resp. $hod^s(A)$.
|
||||
|
||||
$$A = \begin{bmatrix}
|
||||
1 & 2 & 5 \\
|
||||
-2 & 3 & -4 \\
|
||||
-1 & 5 & 1
|
||||
\end{bmatrix} \space \begin{matrix}
|
||||
\leftarrow r_{1} \\
|
||||
\leftarrow r_{2} \\
|
||||
\leftarrow r_{3}
|
||||
\end{matrix}$$
|
||||
|
||||
$$M = \biggl\{ \begin{bmatrix}
|
||||
1 \\
|
||||
2 \\
|
||||
5
|
||||
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
|
||||
-2 \\
|
||||
3 \\
|
||||
-4
|
||||
\end{bmatrix}; \begin{bmatrix}
|
||||
-1 \\
|
||||
5 \\
|
||||
1
|
||||
\end{bmatrix} \biggl\}$$
|
||||
|
||||
- M generuje řádkový lineárně vektorový prostor matice A.
|
||||
- M je LZ, neboť $r_3^T = r_1^T + r_2^T$, tedy $dim(M) < 3$.
|
||||
- Ale $\{r_1^T, r_2^T\}$ je LN a tedy báze, proto $hod^R(A) = 2$.
|
||||
|
||||
Pro každou matici A platí, že
|
||||
- **řádková hodnost** je rovna té **sloupcové**, takže $hod^r(A) = hod^s(A)$;
|
||||
- **hodnost transponované** matice je rovna hodnosti původní matice, takže $hod(A) = hod(A^T)$.
|
||||
|
||||
**Hodností matice** A nazveme hodnotu $hod^r(A)$.
|
||||
|
||||
### Regulární matice
|
||||
|
||||
| vlastnost | výraz |
|
||||
| ----------------------------------------- | ------------------------- |
|
||||
| její **hodnost** se rovná jejímu **řádu** | $hod(A) = n$ |
|
||||
| má **nenulový determinant** | $\det{A} \neq 0$ |
|
||||
| **existuje** k ní **inverzní matice** | $\text{existuje } A^{-1}$ |
|
||||
|
||||
Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami převést **na jednotkovou matici**.
|
||||
|
||||
### Singulární matice
|
||||
|
||||
| vlastnost | výraz |
|
||||
| ------------------------------------------ | --------------------------- |
|
||||
| její **hodnost** je **menší než její řád** | $hod(A) < n$ |
|
||||
| má **nulový determinant** | $\det{A} = 0$ |
|
||||
| **neexistuje** k ní **inverzní matice** | $\text{neexistuje } A^{-1}$ |
|
||||
|
||||
### Určení hodnosti pomocí determinantu
|
||||
- determinant trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na hlavní diagonále
|
||||
|
||||
- determinant libovolné čtvercové podmatice řádu m se nazývá **minořem řádu** m matice A
|
||||
- nechť A je matice => hod(A) = m právě tehdy, když v A existuje nenulový minor řádu m a zároveň každý minor řádu většího než m je nulový
|
||||
Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**.
|
||||
|
||||
- nechť A je čtvercová řádu n => **hod(A) = n**, **pokud det(A) se nerová 0**
|
||||
- DK: podle předchozí věty je hod(A) = n <=> v A existuje nenulový minor řádu n
|
||||
- víme, že jedinému minoru řádu n odpovídá celá matice A => **hod(A) = n** <=> **det(A) se nerovná 0**
|
||||
Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minořem řádu** $m$ matice A.
|
||||
|
||||
Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy,
|
||||
- když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$
|
||||
- a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**.
|
||||
|
||||
Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**
|
||||
- **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$.
|
||||
- Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**.
|
Loading…
Reference in a new issue