Úpravy a doplnění otázek z DMA
This commit is contained in:
parent
3c6892a0b5
commit
1cf6f24f27
7 changed files with 40 additions and 11 deletions
|
@ -53,9 +53,9 @@ Věta o asociativitě skládání relací
|
|||
## Druhy zobrazení
|
||||
|
||||
Zobrazení $f: X \to Y$ je
|
||||
- **prosté**, pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
|
||||
- **na**, pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
|
||||
- **vzájemně jednoznačné** (nebo **bijekce**), pokud je **prosté** a **na**, tedy
|
||||
- **prosté** (injekce), pokud každé $y \in Y$ má nejvýše jeden vzor při zobrazení $f$,
|
||||
- **na** (surjekce), pokud každé $y \in Y$ má alespoň jeden vzor při zobrazení $f$,
|
||||
- **vzájemně jednoznačné** (bijekce), pokud je **prosté** a **na**, tedy
|
||||
- každé $y \in Y$ má právě jeden vzor při zobrazení $f$.
|
||||
|
||||
## Skládání zobrazení
|
||||
|
|
|
@ -0,0 +1,14 @@
|
|||
# Asymptotický růst funkcí
|
||||
|
||||
$\displaystyle x \to +\infty \quad \lim_{ x \to +\infty } \frac{e^x}{x} = +\infty$
|
||||
|
||||
$\displaystyle x^2, x^3, \dots, x^n, \dots \quad \lim_{ x \to +\infty } \frac{e^x}{x^n} = +\infty$
|
||||
|
||||
## Bachmannovi-Landauovy-(Knothovy) symboly
|
||||
|
||||
$g(x) > \mathcal{O}$
|
||||
|
||||
**Big-Oh**: $\mathcal{O}(g(x)) = \{ h(x) | \exists \, c > 0 \, \exists \, x_{0} : \forall \, x > x_{0} : 0 \leq h(x) \leq c \cdot g(x) \}$
|
||||
|
||||
O-notace zajištuje garanci, že funkce neporoste rychleji, než $g(x)$.
|
||||
|
|
@ -1,7 +1,8 @@
|
|||
# Laplaceova matice
|
||||
|
||||
Nechť $G$ je neorientovaný graf s vrcholy $V = \{v_{1}, \dots, v_{n}\}$ a $\vec{G}$ nějaké jeho orientace bez smyček a násobných hran. Dále položme
|
||||
- $L = M(\vec{G}) \cdot (M(\vec{G}))^T \quad$ (tzv. **Laplaceova matice** grafu $G$).
|
||||
- $L = A(\vec{G}) \cdot (A(\vec{G}))^T \quad$ (tzv. **Laplaceova matice** grafu $G$).
|
||||
- $A(\vec{G})$ je indukovaná matice libovolné orientace neorientovaného grafu.
|
||||
|
||||
Potom pro prvky čtvercové matice $L = (l_{ij})$ řádu $n$ platí:
|
||||
|
||||
|
|
|
@ -76,7 +76,7 @@ Mějme orientovaný graf $\vec{G}$ s vrcholy $v_{1}, \dots, v_{n}$. Potom matici
|
|||
|
||||
**Poznámka**: Pro neorientovaný graf $G$ definujeme $d^w(u, v)$ analogicky pro symetrickou orientaci grafu $G$.
|
||||
|
||||
**Tvrzení**: Nechť $G$ je neorietovaný graf. Potom pro každé $x, y, z \in V(G)$ platé
|
||||
**Tvrzení**: Nechť $G$ je neorietovaný graf. Potom pro každé $x, y, z \in V(G)$ platí
|
||||
1) $d^w(x, y) \geq 0, \quad d^w(x, y) = 0 \iff x = y,$
|
||||
2) $d^w(x, y) = d^w(y, x),$
|
||||
3) $d^w(x, z) \leq d^w(x, y) + d^w(y, z).$
|
||||
|
|
|
@ -2,7 +2,7 @@
|
|||
|
||||
Graf $\vec{G}$ je **acyklický**, jestliže $\vec{G}$ neobsahuje jako podgraf žádný cyklus.
|
||||
|
||||
**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ orientovaného grafu:
|
||||
**Sledová relace** $x \sim y$ na vrcholech $x, y \in V(\vec{G})$ acyklického orientovaného grafu:
|
||||
- reflexivní
|
||||
- $x \sim x$ - sled nulové délky
|
||||
- antisymetrická
|
||||
|
|
|
@ -6,7 +6,7 @@ $\displaystyle w(T) = \sum_{e \in E(T)} w(e)$
|
|||
|
||||
nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min\{ w(T); T \text{ je kostra } G \}$, nazveme **minimální kostrou grafu $G$**.
|
||||
|
||||
**Algoritmus** na hledání minimální kostry - **O. Borůvka**.
|
||||
## Algoritmus - O. Borůvka
|
||||
|
||||
- Vstup: souvislý ohodnocený neorientovaný graf.
|
||||
1. $F$ je faktor grafu $G$ s $E(F) = \emptyset$ (nemá žádné hrany).
|
||||
|
@ -16,7 +16,7 @@ nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min
|
|||
|
||||
**Věta**: Nechť $G$ je souvislý ohodnocený neorientovaný graf. Potom faktor $F$ nalezený předchozím algoritmem je minimální kostra grafu $G$.
|
||||
|
||||
**Algoritmus** na hledání minimální kostry - **V. Jarník**.
|
||||
## Algoritmus - V. Jarník
|
||||
|
||||
- Vstup: souvislý ohodnocený neorientovaný graf.
|
||||
1. Zvolme libovolný vrchol $x \in V(G)$, položme $i := 1$ a $G_{1} = (\{x\}, \emptyset)$.
|
||||
|
@ -24,7 +24,9 @@ nazveme **vahou kostry $T$ v grafu $G$**. Kostru $T'$ takovou, že $w(T') = \min
|
|||
- ANO - $G_{i}$ je minimální kostrou grafu $G$, konec
|
||||
- NE - zvolme hranu $e_{i}$ s nejmenší vahou takovou, že má jeden konec v $G_{i}$ a druhý $x_{i}$ mimo $G_{i}$ (ze souvislosti grafu $G$ taková hrana existuje), krok 3
|
||||
3. Označme $G_{i+1}$ graf vzniklý z grafu $G_{i}$ přidáním hrany $e_{i}$ včetně jejího koncového vrcholu $x_{i}$
|
||||
- $V(G_{i+1}) = V(G_{i} \cup \{x_{i}\}), \quad E(G_{i+1}) = E(G_{i}) \cup \{h_{i}\}$
|
||||
- $V(G_{i+1}) = V(G_{i} \cup \{x_{i}\}), \quad E(G_{i+1}) = E(G_{i}) \cup \{e_{i}\}$
|
||||
- krok 2
|
||||
|
||||
TODO: kritická cesta
|
||||
## Algoritmus - J. B. Kruskal
|
||||
|
||||
- TODO
|
|
@ -8,4 +8,16 @@
|
|||
3. Pro vrchol $w$ s nejmenší dočasnou hodnotou polož $t(w) = d(w)$.
|
||||
4. Má vrchol $y$ trvalou hodnotu? Pokud ne, jdi na krok 2. Pokud ano, $t(y)$ je délka minimální cesty z $x$ do $y$, konec.
|
||||
|
||||
**Poznámka**: Hrany, na nichž $w(x, y) = t(y) - t(x)$ určují minimální cestu.
|
||||
**Poznámka**: Hrany, na nichž $w(x, y) = t(y) - t(x)$ určují minimální cestu.
|
||||
|
||||
## Úloha APSP - all pairs shortest paths
|
||||
|
||||
**Algoritmus**: Floydův-Warshallův
|
||||
|
||||
- Slouží k získání $w$-distanční matice grafu $\vec{G}$, začíná se ze stejné matice $D_{0}(\vec{G})$.
|
||||
- Vstup: matice $D_{0}(\vec{G})$ ohodnoceného orientovaného grafu $\vec{G}$.
|
||||
1. Potřebujeme se zbavit míst s nekonečnem a to provedeme tak, že hledáme minimální cestu z vrcholu $i$ do $j$ přes libovolný třetí vrchol $k$.
|
||||
2. Vybereme si jedno z těchto míst a matici čteme takto: potřebujeme se dostat z vrcholu $i$ (určen řádky) do vrcholu $j$ (určen sloupci).
|
||||
3. Najdeme tedy vrchol $k$, do kterého se dostaneme z $i$ a ze kterého se dostaneme do $j$. Na místo v matici poté zapíšeme součet těchto ohodnocení, pokud je menší než současná hodnota.
|
||||
4. Pokračujeme u všech prázných míst a poté postupně u všech míst, dokud po zpracování celé matice nedojde k žádné změně.
|
||||
|
||||
|
|
Loading…
Reference in a new issue