Přidání poznámek k nekonečným řadám v M1
This commit is contained in:
parent
4dc8dcb787
commit
1b653c7903
1 changed files with 59 additions and 0 deletions
59
KMA M1/3. Nekonečné řady.md
Normal file
59
KMA M1/3. Nekonečné řady.md
Normal file
|
@ -0,0 +1,59 @@
|
|||
# Nekonečné řady
|
||||
|
||||
Mějme dánu posloupnost $(a_{n})$ reálných čísel.
|
||||
|
||||
**Nekonečná řada** je symbol $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n},\quad$ kterým označujeme výraz $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots$.
|
||||
|
||||
### Posloupnost částečných součtů
|
||||
|
||||
**Posloupnost částečných součtů** řady $\displaystyle\quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ je posloupnost $(s_n)$, kde
|
||||
$$
|
||||
\begin{matrix}
|
||||
s_{1} = a_{1} \\
|
||||
s_{2} = a_{1} + a_{2} \\
|
||||
s_{3} = a_{1} + a_{2} + a_{3} \\
|
||||
\vdots \\
|
||||
s_{n} = a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}
|
||||
\end{matrix}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Čísla $a_{n}$ jsou **členy řady**, čísla $s_{n}$ jsou **částečné součty řady**. Pokud existuje limita $\lim_{ n \to \infty }{s_{n} = s \in \mathbb{R}^*}$, potom řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ má **součet** $s$ a tuto skutečnost zapisujeme jako $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} = s$.
|
||||
|
||||
### Konvergence a divergence
|
||||
|
||||
Mějme dánu řadu $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ a nechť $(s_{n})$ je její posloupnost částečných součtů. Řada $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}$ je
|
||||
|
||||
| značka | typ | podmínka |
|
||||
| ------ | ------------------------- | --------------------------------- |
|
||||
| **K** | konvergentní | $(s_n)$ konverguje |
|
||||
| **D** | divergentní | $(s_{n})$ diverguje |
|
||||
| | divergentní k $\pm\infty$ | $(s_{n})$ diverguje k $\pm\infty$ |
|
||||
|
||||
Pro **geometrickou řadu** $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} = 1 + q + q^2 + q^3 + \dots\quad$ platí
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\displaystyle \sum_{k=1}^{n} q^{k-1} = \begin{cases}
|
||||
& \displaystyle\frac{1-q^n}{1-q} & \text{pro } q \neq 1, \\
|
||||
& n & \text{pro } q = 1,
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} q^{n-1} \begin{cases}
|
||||
& = \displaystyle\frac{1}{1-q} & \text{pro } \vert q\vert < 1, \\
|
||||
& = +\infty & \text{pro } q \geq 1, \\
|
||||
& \text{diverguje} & \text{pro } q \leq -1.
|
||||
\end{cases}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
Je-li $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}, \quad\sum_{n=1}^{+\infty} b_{n}, \quad a,b \in \mathbb{R}^*, \quad c,d \in \mathbb{R}, \quad$ potom platí
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} (c \cdot a_{n} + d \cdot b_{n}) = c \cdot a + d \cdot b
|
||||
$$
|
||||
|
||||
pokud je výraz $(c \cdot a + d \cdot b)$ definován v $\mathbb{R}^*$ (tj. pokud není neurčitým výrazem).
|
||||
|
||||
### Nutná podmínka konvergence řady
|
||||
|
||||
Je-li řada $\displaystyle \quad\sum_{n=1}^{+\infty} a_{n}\quad$ konvergentní, potom $\displaystyle\lim_{ n \to \infty }{a_{n}} = 0$.
|
Loading…
Reference in a new issue