Každá funkce má v bodě nejvýše jednu limitu (limitu zprava, limitu zleva).
Pro $x_{0} \in \mathbb{R}$ a $b \in \mathbb{R}^*$ platí $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0} } f(x) = b$ právě tehdy, když $\displaystyle \lim_{ x \to x_{0}^- } f(x) = \lim_{ x \to x_{0}^+ } f(x) = b$.
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) + g(x)) = a + b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } (f(x) \cdot g(x)) = a \cdot b, \quad$ pokud je pravá strana definována,
- $\displaystyle\lim_{ x \to x_{0} } \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{a}{b}, \quad$ pokud $\quad\forall \, x \in D : g(x) \neq 0\quad$ a pokud je pravá strana definována.
- alespoň jedna neexistuje nebo není alespoň jedna vlastní
Věta 4.7, 4.8, 4.9
### Spojitost na intervalu
Mějme dánu funkci $f : D \to \mathbb{R}$ a interval $I \subset D$. Řekněme, že funkce $f$ je **spojitá na intervalu** $I$ jestliže je spojitá v každém vnitřním bodě intervalu $I$ a patří-li levý (pravý) koncový bod tohoto intervalu do $I$, je v něm spojitá zprava (zleva).
#### Cauchyho věta
Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu $\langle a;b \rangle$ a pro kterou platí $f(a) \cdot f(b) <0$.Potomexistuje$\xi \in(a;b)$tak,že$f(\xi)=0$.
#### Weierstrassova věta
Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu. Potom funkce $f$ je na tomto intervalu omezená a nabývá na něm své nejmenší a největší funkční hodnoty.
#### Bolzanova věta
Mějme dánu funkci $f$, která je spojitá na **uzavřeném** intervalu. Potom funkce $f$ na tomto intervalu nabývá všech mezihodnot mezi svou nejmenší a největší funkční hodnotou.