103 lines
5 KiB
Markdown
103 lines
5 KiB
Markdown
|
Tabulka pokrytí
|
||
|
|
||
|
| | x | y | z | 0 | 1 | 4 | 5 | 6 | |
|
||
|
| ---------- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --------------- |
|
||
|
| 0, 1, 4, 5 | - | 0 | - | 0 | 0 | 0 | 0 | | $\overline y$ |
|
||
|
| 4, 6 | 1 | - | 0 | | | 0 | | 0 | $x \overline z$ |
|
||
|
|
||
|
- minimální disj. forma: $f(x, y, z) = \overline y + x \overline z$
|
||
|
- každý prvek množiny $\{ 0, 1, 4, 5, 6 \}$ musí být obsažen v alespoň jedné množině vybraných podmnožin
|
||
|
- $\to$ minimalizace počtu překrývajících podmnožin
|
||
|
|
||
|
| x | y | $x \mid y$ | $x \downarrow y$ | $(x \mid y) \mid (x \mid y)$ | $(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y)$ |
|
||
|
| --- | --- | ---------- | ---------------- | ---------------------------- | ---------------------------------------------- |
|
||
|
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
|
||
|
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 |
|
||
|
| 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
|
||
|
| 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 |
|
||
|
|
||
|
- Schefferova NAND
|
||
|
- $(x \mid y) \mid (x \mid y) = x \wedge y \quad$ "x a zároveň y"
|
||
|
- Peirceova NOR
|
||
|
- $(x \downarrow y) \downarrow (x \downarrow y) = x \vee y \quad$ "x nebo y"
|
||
|
- SAT úloha (SAT problem) - otázka: je B. f. splnitelná pro alespoň 1 vstup
|
||
|
- ? jak rychle to jde
|
||
|
- $P \neq NP$
|
||
|
|
||
|
Teorie grafů
|
||
|
- Neorientované grafy
|
||
|
- X množina (konečná), $x \choose 2$ - množina všech dvouprvkových podmnožin množiny X, ta má $\mid x\mid\choose 2$
|
||
|
- neorientovaný graf $G = (V, E)$ - V vertex, E edge
|
||
|
- V konečná množina [množina vrcholů]
|
||
|
- $E \leq {V\choose 2}$ [množina hran]
|
||
|
- odpovídá relaci na V, která je antireflexivní a symetrická
|
||
|
- speciální grafy
|
||
|
- cesta $1 - 2 - 3 - 4 - \dots - n$ na $n$ vrcholech $Pn$ délky $n-1$
|
||
|
- bipartitní graf $K_{m, n}$
|
||
|
- $V = A \cup B, A \cap B = \emptyset$
|
||
|
- $E \subseteq \{ \{a,b\} \mid a \in A, b \in B \}$
|
||
|
- $K_{2,3}$
|
||
|
- úplný graf $K_{n}$
|
||
|
- $V = \{ 1, \dots, n \}$
|
||
|
- $E = {V\choose 2}$
|
||
|
- diskrétní graf
|
||
|
- $E = \emptyset$
|
||
|
- Rovnost grafů $G_{1} = G_{2}$
|
||
|
- $G_{1} = (V_{1}, E_{1}), G_{2} = (V_{2}, E_{2})$, pokud $V_{1} = V_{2}, E_{1} = E_{2}$
|
||
|
- Homomorfismus
|
||
|
- $G_{1} = (V_{1}, E_{1})$
|
||
|
- $G_{2} = (V_{2}, E_{2})$
|
||
|
- $f: V_{1} \to V_{2}$ je homomorfismus, pokud platí
|
||
|
- $xy \in E_{1} \implies f(x)f(y) \in E_{2}$
|
||
|
- zobrazení indukované zobrazením $f$: $f^*$
|
||
|
- $f^* : {V_{1}\choose 2} \to {V_{2}\choose 2}$
|
||
|
- $f^*(uv) = f(u)f(v)$
|
||
|
- Morfismy grafů
|
||
|
- $f$ se nazývá
|
||
|
- vzcholový monomorfismus, j-li $f$ prosté (injektivní)
|
||
|
- vrcholový epimorfismus, je-li $f$ na (surjektivní)
|
||
|
- hranový monomorfismus, je-li $f^*$ prosté
|
||
|
- hranový epimorfismus, je-li $f^*$ na
|
||
|
- monomorfismus, jsou-li $f, f^*$ prosté
|
||
|
- epimorfismus, je-li $f, f^*$ na
|
||
|
- izomorfizmus, je-li $f, f^*$ prosté i na
|
||
|
- $G_{1}, G_{2}$ jsou izomorfní $G_{1} \approxeq G_{2}$, pokud existuje izomorfizmus
|
||
|
- $f: V(G_{1}) \to V(G_{2})$
|
||
|
- přenáší hrany na hrany a nehrany na nehrany
|
||
|
- ? jak rychle rozhodnout, zda 2 grafy jsou izomorfní ?
|
||
|
- automorfisms grafu $G:$ izomorfismus $G \to G$
|
||
|
- všechny izomorfismy $G \to G$ triviální: identické zobrazení
|
||
|
- složení izomorfismů (automorfismů) je opět izomorfismus (automorfismus)
|
||
|
- $\forall$ izomorfismus (automorfismus) $\exists$ izomorfismus (automorfismus) inverzní
|
||
|
- $\exists$ identický automorfismus
|
||
|
- množina automorfismů s operací skládání tvoří grupu
|
||
|
- Aut(G)
|
||
|
- stupeň vrcholu v
|
||
|
- okolí vrcholu v
|
||
|
- otevřené okolí: $N(v) = \{ u \in V \mid uv \in E \}$
|
||
|
- uzavřené okolí: $N[v] = N(v) \cup \{ v \}$
|
||
|
- $\deg_{G}(v) = \text{d}_{G}(v) = \vert N(v) \vert$
|
||
|
- minimální stupeň grafu
|
||
|
- $\delta(G) = \min\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}$
|
||
|
- maximální stupeň grafu
|
||
|
- $\Delta(G) = \max\{ \deg_{G}(v) \mid v \in V \}$
|
||
|
- časté značení $\vert V(G) \vert = n$, $\vert E(G)\vert = m$
|
||
|
- $\deg_{G}(v) \leq n-1 = \vert V(G) \vert - 1$
|
||
|
- $\Delta(G) \leq \vert V(G) \vert - 1$
|
||
|
- Věta: $\sum_{v \in V} \deg_{G}(V) = 2m = 2 \cdot \vert E(G) \vert$
|
||
|
- důsledek: počet vrcholů lichého stupně je v grafu vždy sudý
|
||
|
- handshaking lemma
|
||
|
- skóre grafu
|
||
|
- posloupnost stupňů všech vrcholů seřazená nerostoucím způsobem
|
||
|
- graf $\to$ skóre (soubor stupňů)
|
||
|
- ? posloupnost čísel $\to$ skóre
|
||
|
- pro danou posloupnost rozhodnout, zda je skóre nějakého grafu
|
||
|
- např. 6, 6, 6 - graf neexistuje
|
||
|
- Věta (Havel, Hakimi)
|
||
|
- $d = (d_{1}, d_{2}, \dots, d_{n}) \quad d_{1} \geq d_{2} \geq \dots \geq d_{n}, n \geq 2$
|
||
|
- je grafová, právě tehdy když
|
||
|
- $d' = (d_{2}-1, \dots, d_{d_{1}+1}-1, d_{d_{1}+2}, \dots, d_{n})$ je grafová
|
||
|
- Př.: $4, 4, 3, 2, 1, 1 \to 3, 2, 1, 0, 1 \to 3, 2, 1, 1, 0 \to 1, 0, 0, 0$
|
||
|
- není grafová
|
||
|
|