39 lines
1.8 KiB
Markdown
39 lines
1.8 KiB
Markdown
|
### Báze
|
||
|
|
||
|
Je-li generující množina prostoru V lineárně nezávislá, jedná se také o bázi prostoru V.
|
||
|
- zápis: $\text{báze }A = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}\}$
|
||
|
|
||
|
Bázi z generující množiny zjistím tím, že vektory GM zapíšu **do sloupců** matice a provedu **GJEM**, čímž zjistím, jestli se nedá některý z vektorů **vyjádřit jako LK jiného vektoru** (tedy vyjde jako **parametr**).
|
||
|
|
||
|
#### Dimenze V
|
||
|
|
||
|
Počet prvků báze V se nazývá **dimenze V** a značí se $dim(V)$.
|
||
|
|
||
|
Dimenzi vypočítám **zjištěním báze**, kde **počet prvků báze** je roven **dimenzi V**.
|
||
|
|
||
|
#### Souřadnice v bázi
|
||
|
|
||
|
Jednoznačně určené koeficienty $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n} \in \mathbb{R}$ LK $v = c_{1}\vec{b_{1}}, c_{2}\vec{b_{2}}, \dots, c_{n}\vec{b_{n}}$ se nazývají **souřadnice prvku v** v bází B.
|
||
|
- značí se $\widehat{v_{B}} = [c_{1}, c_{2}, \dots, c_{n}]^T$
|
||
|
|
||
|
Pořadí prvků v bázi je důležité! Při změně pořadí se změní i pořadí souřadnic:
|
||
|
|
||
|
$$B_{1} = \{ \vec{b_{1}}, \vec{b_{2}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{1}} = [1, 2, 3]$$
|
||
|
$$B_{2} = \{ \vec{b_{2}}, \vec{b_{1}}, \vec{b_{3}} \} \qquad \vec{x}_{B_{2}} = [2, 1, 3]$$
|
||
|
|
||
|
Souřadnice součtu dvou prvků V jsou součtem souřadnic těchto prvků.
|
||
|
|
||
|
$$\widehat{(\vec{v_{1}} + \vec{v_{2}})}_{B} = \widehat{\vec{v_{1}}_{B}} + \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||
|
$$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_{B}}$$
|
||
|
|
||
|
### Určení souřadnic vektoru v bázi
|
||
|
|
||
|
1. Bázové prvky zapíšeme do levé strany matice do sloupců.
|
||
|
2. Vektor zapíšeme do pravé strany matice.
|
||
|
3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice.
|
||
|
4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi.
|
||
|
|
||
|
### Lineární obal
|
||
|
|
||
|
- všechny lineární kombinace zadaných vektorů
|
||
|
- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$
|