1) **Horní integrální součet** funkce $f$ příslušný dělení $D$ je číslo $\displaystyle s(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}$.
2) **Dolní integrální součet** funkce $f$ příslušný dělení $D$ je číslo $\displaystyle S(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}$.
### Riemannovsky integrovatelná funkce
Mějme funkci $f$, která je definovaná a omezená na uzavřeném intervalu $\langle a;b \rangle$. Dále uvažujeme množinu $\mathcal{D}$ všech možných dělení $D$ tohoto intervalu $\langle a;b\rangle$.
Řekneme, že funkce $f$ je (**Riemannovsky**) **integrovatelná** na intervalu $\langle a;b\rangle$, pokud existuje číslo $I \in \mathbb{R}$ takové, že platí
$$
\displaystyle I = \sup s(f,D) = \inf S(f,D); D \in \mathcal{D}.
$$
Číslo $I$ potom nazýváme **určitý integrál** funkce $f$ na intervalu $\langle a; b \rangle$ a píšeme $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx = I$.
Je-li funkce $f$ spojitá na intervalu $\langle a;b \rangle$, potom je na tomto intervalu integrovatelná.
#### Newtonova-Leibnizova věta
Mějme funkci $f$, která je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a;b \rangle$. Dále mějme funkci $F$, která je spojitá na intervalu $\langle a;b \rangle$ a je primitivní funkcí k funkci $f$ na $(a;b)$. Potom platí
Mějme funkce $u, v$, které jsou spojité na intervalu $\langle a;b \rangle$ a jejich derivace $u', v'$ jsou integrovatelné na tomto intervalu. Potom platí