2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
# Derivace funkce
|
|
|
|
|
|
|
|
- rychlost růstu či klesání funkce
|
2022-12-04 21:29:27 +01:00
|
|
|
- pokud je derivace funkce v bodě $x_0$
|
|
|
|
- $< 0$, je funkce v bodě **klesající**
|
|
|
|
- $> 0$, je funkce v bodě **rostoucí**
|
|
|
|
- $= 0$, je funkce v bodě **konstatní**
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
|
2022-12-04 18:03:32 +01:00
|
|
|
### Základní vzorce
|
|
|
|
|
2022-12-05 08:35:15 +01:00
|
|
|
| operace | vzorec |
|
|
|
|
| ------------------- | ------------------------------------------------------------------- |
|
|
|
|
| sčítání | $(f+g)' = f' + g'$ |
|
|
|
|
| násobení konstantou | $(c \cdot f)' = c \cdot f'$ |
|
|
|
|
| násobení | $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$ |
|
|
|
|
| dělení | $\left( \frac{f}{g} \right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$ |
|
2022-12-13 22:57:10 +01:00
|
|
|
| složená funkce | $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$ |
|
2022-12-04 18:03:32 +01:00
|
|
|
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
### Tabulka derivací
|
|
|
|
|
|
|
|
| funkce | derivace |
|
|
|
|
| ------------------- | --------------------------- |
|
|
|
|
| $x^a$ | $ax^{a-1}$ |
|
|
|
|
| $e^x$ | $e^x$ |
|
|
|
|
| $a^x$ | $a^x \ln a$ |
|
|
|
|
| $\ln x$ | $\frac{1}{x}$ |
|
|
|
|
| $\log_{a} x$ | $\frac{1}{x \ln a}$ |
|
|
|
|
| $\sin x$ | $\cos x$ |
|
|
|
|
| $\cos x$ | $-\sin x$ |
|
2022-12-03 12:50:19 +01:00
|
|
|
| $\text{tg } x$ | $\frac{1}{\cos^2 x}$ |
|
|
|
|
| $\text{cotg } x$ | $-\frac{1}{\sin^2 x}$ |
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
| $\arcsin x$ | $\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ |
|
|
|
|
| $\arccos x$ | $-\frac{1}{\sqrt{ 1-x^2 }}$ |
|
2022-12-03 12:50:19 +01:00
|
|
|
| $\text{arctg } x$ | $\frac{1}{1+x^2}$ |
|
|
|
|
| $\text{arccotg } x$ | $-\frac{1}{1+x^2}$ |
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
| $\sinh x$ | $\cosh x$ |
|
|
|
|
| $\cosh x$ | $\sinh x$ |
|
2022-12-03 12:50:19 +01:00
|
|
|
| $\text{tgh } x$ | $\frac{1}{\cosh^2 x}$ |
|
|
|
|
| $\text{cotgh } x$ | $\frac{1}{\sinh^2 x}$ |
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
|
|
|
|
### Tečna a normála
|
|
|
|
|
|
|
|
- zjištění tečny a normály v bodě funkce ($x_{0}$)
|
|
|
|
1. najdeme tečný bod $T[x_{0}, y_{0}]$
|
|
|
|
- $y_{0} = f(x_{0})$
|
|
|
|
2. zderivujeme $f(x)$ a dosadíme do derivace $x_{0}$
|
|
|
|
- $f'(x)$
|
|
|
|
- $f'(x_{0})$
|
|
|
|
3. zjistíme tečnu
|
2022-12-13 22:57:10 +01:00
|
|
|
- $t: y-y_{0} = f'(x_{0}) \cdot (x-x_{0})$
|
2022-12-03 12:47:17 +01:00
|
|
|
4. zjistíme normálu
|
2022-12-13 22:57:10 +01:00
|
|
|
- $n: y-y_{0} = \frac{-1}{f'(x_{0})} \cdot (x-x_{0})$
|
2022-12-04 21:29:27 +01:00
|
|
|
|
|
|
|
## Extrémy funkce
|
|
|
|
|
|
|
|
1.
|
|
|
|
- **maximum**
|
|
|
|
- **minimum**
|
|
|
|
2.
|
|
|
|
- **lokální**
|
|
|
|
- **globální**
|
|
|
|
3.
|
|
|
|
- **ostré**
|
|
|
|
- **neostré**
|
|
|
|
|
|
|
|
### Nutná podmínka existence extrému
|
|
|
|
|
|
|
|
$f'(x_{0}) = 0$, pokud jsou splněny **obě** podmínky:
|
|
|
|
- funkce f má v $x_{0}$ lokální extrém
|
|
|
|
- existuje $f'(x_{0})$
|
|
|
|
|
|
|
|
### Postačující podmínka existence extrému
|
|
|
|
|
|
|
|
- v $x_0$ se nachází **lokální minimum**, pokud
|
|
|
|
- $f'(x_0) = 0$ a $f''(x_{0}) > 0$
|
|
|
|
- v $x_{0}$ se nachází lokální maximum, pokud
|
2022-12-08 09:53:05 +01:00
|
|
|
- $f'(x_0) = 0$ a $f''(x_{0}) < 0$
|
|
|
|
|
|
|
|
## L'Hospitalovo pravidlo
|
|
|
|
|
|
|
|
- Pokud platí rovnosti $f(x_0) = g(x_0) = 0$ a existuje limita s derivacemi (druhá níže), pak platí vztah:
|
|
|
|
- $\displaystyle \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0}\frac{f'(x)}{g'(x)}$
|