U O-notace nezáleží na násobku ani na přičtení konstanty či menší funkce, proto se např. $g(n) = 2 \cdot n^2 + 5 \cdot n + 4$ vejde pod $\mathcal{O}(n^2)$.
![Zanořování O množin](_assets/zanorovani-o-mnozin.png)
## Omega notace
$\Omega(f(n))$ je množina všech funkcí, pro které platí, že $g(n) > c \cdot f(n)$ pro všechna $n > n_0 > 0$ a nějaké $c > 0$. (jediná změna je ve znaménku větší než)
- Omega notace je opakem O-notace
- funkce $g(n)$ patří do $\Omega(f(n))$ když $g(n)$ roste **stejně rychle nebo rychleji** než $f(n)$
Význam Omega notace:
- omezuje funkci jen zdola
- říká, že **to nebude lepší než...**
- příslušnost do $\Omega(f(n))$ implikuje **neefektivitu**, pokud $f(n)$ roste rychle
Mezi Omega množinami existují **obrácené vztahy** oproti O-množinám.
- neroste rychleji ani pomaleji - roste stejně rychle
- graf $g(n)$ je od jistého $n_{0}$ možné uzavřít mezi grafy $c_{1} \cdot f(n)$ a $c_{2} \cdot f(n)$
- patrně $c_{1} <c_{2}$
Theta množiny jsou disjunktní - funkce **nemůže patřit do více množin zároveň**.
Výjimka: Pokud $g_{1}(n) = 1000n, g_{2}(n) = n\log(n)$, pak pro všechna realistická n platí $g_{2}(n) <g_{1}(n)$,protožefunkce$g_{1}$budeefektivnějšíažve**velmi velkých číslech**.
## Důležitá poznámka
Význam funkcí může být:
- čas výpočtu pro jakýkoli vstup velikosti n
- čas výpočtu pro nejlepší možný vstup velikosti n
- čas výpočtu pro nejhorší možný vstup velikosti n
- Jeden program může mít **v očekávaném případě lepší efektivitu** než jiný **v tom nejhorším případě**, přesto však ten první nemusí být lepší (v nejhorším případě může být mnohem méně efektivní).