2023-04-13 22:30:07 +02:00
|
|
|
Podgrafy
|
|
|
|
- mám graf G
|
|
|
|
- graf H je
|
|
|
|
- podgrafem G, pokud platí
|
|
|
|
- $V(H) \leq V(G), E(H) \leq E(G)$
|
|
|
|
- indukovaným podgrafem G, pokud platí
|
|
|
|
- $V(H) \leq V(G), E(H) = E(G) \cap {V(H) \choose 2}$
|
|
|
|
- faktorem G, pokud
|
|
|
|
- $H \leq G, V(H) = V(G)$
|
|
|
|
- vlastním faktorem, pokud H je faktor G a $H \neq G$
|
|
|
|
|
|
|
|
Souvislost grafu
|
|
|
|
- **uv-sled** je posloupnost vrcholů $u = u_{0}, u_{1}, u_{2}, \dots, uu_{k} = v$ pokud platí, že $u_{i}u_{i+1} \in E(G) \quad \forall \, 0 \leq i \leq k-1$ (k je délka sledu = # hran)
|
|
|
|
- **uv-tah** - neopakují se hrany
|
|
|
|
- **uv-cesta** - neopakují se vrcholy
|
|
|
|
- různé pohledy na sledy:
|
|
|
|
- posloupnost hran $e_{1}, e_{2}, \dots, e_{k}$ - 2 sousední hrany sdílí vrchol
|
|
|
|
- posloupnost vrcholů a hran $v_{1}e_{1}v_{2}e_{2}\dots v_{k}e_{k+1}$ - $e_{i}$ spojuje vrcholy $v_{i}v_{i+1}$
|
|
|
|
- homomorfismus cesty
|
|
|
|
- nejkratší uv-sled je uv-cestou
|
|
|
|
- Def.: G je souvislý, pokud $\forall$ dva vrcholy u, v existuje G uv-sled (uv-cesta)
|
|
|
|
- Relace na množině vrcholů V(G)
|
|
|
|
- $u, v \in V(G)$ jsou relací u a v, pokud eixstuje v G uv-sled (sledová relace)
|
|
|
|
- vlastnosti sledové relace
|
|
|
|
- a) reflexivní - reiviální sled u nulové délky
|
|
|
|
- b) symetrická
|
|
|
|
- c) tranzitivní - složením sledů získám opět sled
|
|
|
|
- reflexivní a tranzitivní = ekvivalnce - rozklad množiny V(G) na třídy ekvivalence
|
|
|
|
- komponenta grafu G ... indukovaný podgraf na třídě ekvivalence
|
|
|
|
- maximální souvislé podgrafy (ve smyslu inkluze)
|
|
|
|
- ? jak zjistit souvislost grafu (komponenty grafu)
|
|
|
|
|
|
|
|
Kružnice v grafech
|
|
|
|
- uzavřený sled ... sled začínající a končící stejným vrcholem
|
|
|
|
- uzavřený tah ... tah začínající a končící stejným vrcholem
|
|
|
|
- kružnice ... uzavřený sled délky alespoň 3 tak, že se v něm žádný vrchol (kromě počátečního a koncového) neopakuje
|
|
|
|
- Věta: G je souvislý a e leží na nějaké kružnici $\iff$ G-e je souvislý
|
|
|
|
|
|
|
|
Stromy
|
|
|
|
- neorientovaný souvislý graf bez kružnic
|
|
|
|
- list stromu - vrchol stupně 1
|
|
|
|
- les - graf, jehož každá komponenta je stromem
|
|
|
|
- Tvrzení: má-li strom T alespoň dva vrcholy, pak má alespoň dva listy
|
|
|
|
- Věta: G strom $\iff$ $\forall$ dva vrcholy $u, v \in V(G)$ existuje v G právě jedna cesta
|
|
|
|
- Věta: G strom $\iff$ G je souvislý a má n-1 hran
|
|
|
|
- Věta: G strom $\iff$ G je souvislý a nemá žádný souvislý vlastní faktor (odmazáním lib. hrany získm nesouvislý graf)
|
|
|
|
|
|
|
|
Kostry grafu
|
|
|
|
- kostra grafu (souvislého) je libovolný faktor izomorfní se stromem
|
2023-04-21 08:11:31 +02:00
|
|
|
- Věta: každý souvislý graf má kostru
|
|
|
|
- D: najdu kružnici - odstraním hranu - opakuji [reverzní mazací algoritmus]
|