FAV-ZCU/KMA NM/Zkouška/01. okruh.md

**Základní pojmy. Matematický model, matematická úloha, korektní úloha, podmíněnost úlohy, číslo podmíněnosti, podmíněnost a stabilita algoritmu. Příklady.**

### Matematický model

Reálný problém popsaný matematickými veličinami a vztahy.

### Matematická úloha 

Mějme dány dvě množiny $X$ (vstupní data) a $Y$ (výstupní data). Předpokládejme, že $X, Y$ jsou Banachovy prostory (úplné + normovaný). Úlohou rozumíme relaci $y = U(x); \, x \in X_{i}; \, y \in Y$.

**Korektní úloha**
- Úloha je korektní na dvojici prostorů $(X,Y)$, když:
	- $\forall \, x \in X \quad \exists! \, y \in Y: \quad y = U(x)$
		- jedná se o zobrazení
	- $\forall \, \{x_{n}\}: x_{n} \to x_{i} \cup (x_{n}) = y_{n} : y_{n} \to y = U(x)$
		- řešení $y$ spojitě závisí na vstupních datech

Pro řešitelné rovnice nám vyjde přesné řešení.

Pokud úloha nelze řešit, převedeme ji na numerickou úlohu.

### Numerická úloha

- neznáme metodu pro nalezení přesného řešení, volíme přibližnou metodu
- problém např. musíme diskretizovat
- metoda býva nepřesná - chyba metody (chyba diskretizace)

### Podmíněnost úlohy

**Dobrá podmíněnost**
- Úloha je dobře podmíněná, jestliže malá relativní změna na vstupu vyvolá malou relativní změnu řešení.

**Číslo podmíněnosti**
- vyjadřuje míru změny řešení při změně vstupu
- je-li $C_{p} \approx 1$, úloha je velmi dobře podmíněná
- v praxi hovoříme o špatně podmíněné úloze pro $C_{p} \geq 100$
- $\displaystyle C_{p} = \frac{\frac{\Vert \Delta y\Vert}{\Vert y\Vert}}{\frac{\Vert \Delta x\Vert}{\Vert x\Vert}}$
	- $\displaystyle\frac{\Vert\Delta y\Vert}{\Vert y\Vert} = \frac{\vert U(\overline{x}+ \Delta x) - U(\overline{x}) \vert}{\vert U(\overline{x}) \vert}$
	- horní část - relativní chyba na výstupu $y$
	- dolní část - relativní chyba na vstupu $x$

### Stabilita a podmíněnost algoritmu

**Stabilní algoritmus**
- **dobře podmíněný** - málo citlivý na poruchy ve vstupních datech
- **numericky stabilní** - málo citlivý na vliv zaokrouhlovaných chyb

**Nestabilní algoritmus**
- relativně malé chyby v jednotlivých krocích se akumulují tak, že dojde ke katastrofální ztrátě přesnosti řešení

U stabilních metod roste chyba výsledku nejvýše lineárně.
- sčítáním a odčítáním můžeme ztratit hodně informací (desetinných míst) - to může vést k nestabilitě
- **reziduum**
	- $r = b-A\overline{x}$
	- míra chyby mezi přesným a přibližným řešením
	- vyjde nula, když dostaneme přesné řešení
- **chyba**
	- $e = \overline{x} - x^*$
	- rozdíl mezi přibližným a přesným výsledkem
- když se nám rapidně zvyšuje chyba, ale reziduum je stále blízké nule, tak se jedná o **nestabilní algoritmus**