24 lines
1.4 KiB
Markdown
24 lines
1.4 KiB
Markdown
|
# Inercie kvadratické formy, zákon setrvačnosti kvadratických forem
|
||
|
## Inercie kvadratické formy
|
||
|
- Nechť $\kappa(\vec{x}) = \vec{x}^{T}A\vec{x}$ je kvadratická forma, **A** reálná symetrická matice. Označme
|
||
|
- $k$ - počet kladných vlastních čísel matice **A** (vč. násobností);
|
||
|
- $z$ - počet záporných vlastních čísel matice **A**;
|
||
|
- $d$ - počet nulových vlastních čísel matice **A**.
|
||
|
- **inercie kvadratické formy** - Trojice čísel ($k$, $z$, $d$)
|
||
|
- značíme $in(\kappa) = (k, z, d)$
|
||
|
|
||
|
### Druhy inercií
|
||
|
|
||
|
Řekněme, že kvadratická forma $\kappa(\vec{x})$ na $\mathbb{R}^n$ je
|
||
|
|
||
|
| typ | jestliže |
|
||
|
| --------------------------- | -------------------------------------- |
|
||
|
| **pozitivně definitní** | $in(\kappa) = (k, 0, 0)$ |
|
||
|
| **negativně definitní** | $in(\kappa) = (0, z, 0)$ |
|
||
|
| **pozitivně semidefinitní** | $in(\kappa) = (k, 0, d), d > 0$ |
|
||
|
| **negativně semidefinitní** | $in(\kappa) = (0, z, d), d > 0$ |
|
||
|
| **indefinitní** | $in(\kappa) = (k, z, d), k > 0, z > 0$ |
|
||
|
|
||
|
## Zákon setrvačnosti kvadratických forem
|
||
|
- Je-li kvadratická forma na $\mathbb{R}^n$ vyjádřena dvěma způsoby jako lineární kombinace čtverců souřadnic vzhledem ke dvěma bázím, pak v obou vyjádřeních je **stejný počet kladných, záporných i nulových koeficientů**.
|
||
|
- $2x^2 + 2y^2 = (x+y)^2 + (x-y)^2$
|