Nechť $x, y \in V(\vec{G})$. Délka nejkratšího orientovaného sledu z $x$ do $y$ v grafu $\vec{G}$ se nazývá **vzdálenost vrcholů** $x$ a $y$ v grafu $\vec{G}$ a značíme ji $\text{d}(x, y)$. Pokud v $\vec{G}$ neexistuje sled z $x$ do $y$, píšeme $\text{d}(x, y) = \infty$.
- $\text{d}(x, x) = 0$
- v neorientovaném grafu je vzdálenost definována jako v jeho symetrické orientaci
**Věta**: Nechť $G$ je neorientovaný graf. Potom pro každé $x, y, z \in V(G)$ platí:
**Distanční matice grafu** $\vec{G}$ je matice $D(\vec{G}) = (d_{ij})$ řádu $n$, definovaná předpisem $d_{ij} = \text{d}(v_{i}, v_{j})$, kde $v_{1}, \dots, v_{n}$ jsou vrcholy grafu $\vec{G}$.
- obsahuje délku nejkratší možné cesty mezi prvky $v_{i}, v_{j}$
**Věta**: Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf, $D(\vec{G})$ jeho **distanční matice**. Pro každé $i \neq j$ je prvek $d_{ij}$ roven nejmenší mocnině $k$, pro kterou je prvek na pozici $(i, j)$ v matici sousednosti $A^k(\vec{G})$ nenulový.
**Poznámka**: Tímto způsobem umíme nalézt distanční matici v čase $\mathcal{O}(n^4)$.
**Věta**: Graf $\vec{G}$ je acyklický, právě když existuje $k \in \mathbb{N}$ takové, že $A^k(\vec{G})$ je matice samých nul.
# Ohodnocené grafy
Nechť $\vec{G}$ je orientovaný graf. Funkce $w : E(\vec{G}) \to (0, \infty)$ se nazývá **hranové ohodnocení grafu** $\vec{G}$. Graf se zadaným ohodnocením se nazývá **ohodnocený graf**.
- obsahuje ohodnocení orientovaných hran z vrcholu $v_{i}$ do $v_{j}$
**Poznámka**: Pro neorientovaný graf $G$ opět definujeme matici $W(G)$ jako váženou matici sousednosti jeho symetrické orientace. Tato matice je **symetrická** a má **nulové diagonální prvky**.
## $w$-délka cesty
Mějme orientovanou cestu $\vec{P} \subseteq \vec{G}$ v $\vec{G}$. Číslo $w(\vec{P}) = \sum_{h\in H(\vec{P})} w(h)$ se nazývá **$w$-délkou cesty** $\vec{P}$. Je-li $\vec{P}$ dílky nula, klademe $w(\vec{P}) = 0$.
- jedná se o sumu ohodnocení všech hran cesty
Mějme vrcholy $x, y \in V(\vec{G})$ a orientovanou cestu $\vec{P}$ z $x$ do $y$ minimální $w$-délky.
- Potom říkáme, že $\vec{P}$ je **minimální cesta** z $x$ do $y$ v grafu $\vec{G}$.
- Číslo $w(\vec{P})$ se nazývá **$w$-vzdálenost vrcholů** $x$ a $y$ v grafu $\vec{G}$ a značí se $\text{d}^w(x, y)$.
- Jestliže v grafu $\vec{G}$ neexistuje orientovaná cesta z $x$ do $y$, klademe $\text{d}^w(x, y) = \infty$.
+ platí $\text{d}^w(x, x) = 0$
**Poznámka**: Pro neorientovaný graf $G$ se tyto pojmy definují analogicky pro symetrickou orientaci grafu $G$.
3) $k$-tou mocninou matice $D_{0}(\vec{G})$ při těchto operacích značíme $D_{0}^{(k)}$.
**Věta**: Nechť $\vec{G}$ je ohodnocený orientovaný graf, nechť $r$ je nejmenší číslo, pro které $D_{0}^{(r)}(\vec{G}) = D_{0}^{(r+1)}(\vec{G})$. Potom $D^w(\vec{G}) = D_{0}^{(r)}(\vec{G})$.
- $w$-distanční matice je taková mocnina matice $D_{0}(\vec{G})$, pro kterou je o 1 vyšší mocnina této matice stejná jako původní umocněná
**Poznámka**: Tento postup pracuje v čase $\mathcal{O}(n^4)$. Nejlepší známé algoritmy pracují v čase $\mathcal{O}(n^3)$.
**Poznámka**: Pro neorientovaný graf $G$ definujeme $d^w(u, v)$ analogicky pro symetrickou orientaci grafu $G$.