\cancel{x^4} + x^3 + \cancel{x^2 + x^2} + x + \cancel{1} = x^3 + x
$$
**Př. 4**: Binární cyklický kód vznikne ze slova 110110 cyklickými posuvy a součty. Určete všechny značky kódu $K$, generující mnohočlen $g(x)$, kontrolní mnohočlen $h(x)$, generující matici $G$ a kontrolní matici $H$.
značky:
- vždy posunuté o jednu pozici doleva
- $u_{1} = [110110]$
- $u_{2} = [011011]$
- $u_{3} = [101101]$
+ $u_{1} + u_{2} = [101101] = u_{3}$
+ $u_{1} + u_{3} = [011011] = u_{2}$
+ $u_{2} + u_{3} = [110110] = u_{1}$
+ $u_{1} + u_{2} + u_{3} = [000000]$
- 4 unikátní značky
rozměry:
- $k = 2$
- $n = 6$
- stupeň $g(x) = n-k = 4$
generující mnohočlen:
- je nenulový a má nejnižší stupeň ze všech značek
- $g(x) = 1 + x + x^3 + x^4$ ($u_{1}$)
- prvky $g_{0}, g_{1}, g_{2}, g_{4}, g_{5}$
kontrolní mnohočlen:
- $h(x) = x^n - 1 : g(x)$
- $h(x) = (x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1$
$(x^6 + 1) : (x^4 + x^3 + x + 1) = x^2 + x + 1$
- $-(x^6 + x^5 + x^3 + x^2)$
- $x^5 + x^3 + x^2 + 1$
- $- (x^5 + x^4 + x^2 + x)$
- $x^4 + x^3 + x + 1$
- $-(x^4 + x^3 + x + 1)$
- $\emptyset$
generující matice:
- první řádek je $g(x)$
- další řádky jsou vždy násobené $x$, tedy posunuté o jednu pozici doleva
- nenulový pás z horního levého rohu do dolního pravého
$$
G = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
$$
kontrolní matice:
- první řádek je obráceně, tedy $h_{5}, h_{4}, h_{3}, h_{2}, h_{1}, h_{0}$
- každý další řádek posunutý o jednu pozici doprava
- nenulový pás z horního pravého rohu do dolního levého rohu
$$
H = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$
**Př. 5**: Vytvořte cyklický kód pro kódování **čtyřprvkových** informační částí. Generující mnohočlen je $g(x) = 1 + x + x^3$. Kódování proveďte jak pomocí generující matice, tak i pomocí generujícího mnohočlenu.
rozměry:
- $k = 4$
- $n - k = 3$
- $\implies n = 7$
generující matice:
$$
G = \begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1
\end{bmatrix}
$$
kódování pomocí $G$:
- $u = [1110]^\text{T}\quad (1 + 2 + 4 = 7)$
- označím 1., 2. a 3. řádek (tyto pozice jsou v $u$ nenulové)
- poté sčítám v $G$ vetikálně do $v$
- $v = [1000110]^\text{T}$
- první, třetí a čtvrtý prvek přenášen čistě (na poziciích 1, 6 a 7)
kódování pomocí $g(x)$:
- $v(x) = u(x) \cdot g(x) = (1 + x + x^2) \cdot (1 + x + x^3)$