85 lines
4.2 KiB
Markdown
85 lines
4.2 KiB
Markdown
|
# Inerciální a neinerciální soustavy
|
||
|
|
|
||
|
|
Jako první je nutné si představit dvě navzájem nezávislé soustavy $S$ a $S'$, ve kterých pozorujeme tentýž hmotný bod $m$.
|
||
|
|
- osy zůstávají rovnoběžné
|
||
|
|
- pohybují se vůči sobě
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
|
||
|
|
- z obrázku musí být proto vidět následující vztah pro průvodiče
|
||
|
|
- $\vec{r} = \vec{r}' + \vec{R}$
|
||
|
|
- pokud rovnici zderivujeme podle času, dostaneme podobný vztah pro rychlosti
|
||
|
|
- $\frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d\vec{r}'}{dt} + \frac{d\vec{R}}{dt}$
|
||
|
|
- $\vec{v} = \vec{v}' + \vec{u}$
|
||
|
|
- $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}$ ... **rychlost bodu v $S'$**
|
||
|
|
- $\vec{v}' = \frac{d\vec{r}'}{dt}$ ... **rychlost bodu v $S$**
|
||
|
|
- $\vec{u} = \frac{d\vec{R}}{dt}$ ... **unášivá rychlost**
|
||
|
|
- název unášivá proto, že bod je v $S'$ v klidu, ale oproti $S$ se pohybuje, je tedy unášen rychlostí $S'$
|
||
|
|
- pokud tedy ještě zderivujeme vztah pro rychlosti, dostaneme zrychlení
|
||
|
|
- $\vec{a_{u}} = \frac{d\vec{u}}{dt}$
|
||
|
|
- $\vec{a} = \vec{a}' + \vec{a_{u}}$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Rovnoměrný přímočarý pohyb
|
||
|
|
|
||
|
|
Při tomto pohybu se soustavy **vůči sobě pohybují rovnoměrně**, tedy rychlost mezi nimi (unášivá rychlost) **je konstantní**.
|
||
|
|
- $\vec{u} = \text{konst.}$
|
||
|
|
|
||
|
|
Podle 1. NZ (**zákon setrvačnosti**) platí, že pokud se těleso pohybuje rovnoměrně přímočaře, jeho rychlost je konstantní.
|
||
|
|
- z toho vyplývá, že platí $\vec{v}' = \vec{v}-\vec{u} = \text{konst.}$
|
||
|
|
- protože se rychlost nemění, **unášivé zrychlení** $\vec{a_{u}}$ je nulové
|
||
|
|
- v druhé soustavě ($S'$) se těleso tedy také pohybuje rovnoměrně přímočaře
|
||
|
|
- **inerciální soustavy** - platí v nich **zákon setrvačnosti**
|
||
|
|
|
||
|
|
Pro převod souřadnic z jedné soustavy do druhé nám zde poslouží tzv. **Galileovy transformace**
|
||
|
|
|
||
|
|
- vyjádříme **vektorovou rovnici** z $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{R}$
|
||
|
|
- $x' = x - R_{x}$
|
||
|
|
- $y' = y - R_{y}$
|
||
|
|
- $z' = z - R_{z}$
|
||
|
|
- **konstantní rychlost** jako souřadnice $\vec{u}$
|
||
|
|
- $\vec{u} = (u_{x}, u_{y}, u_{z})$
|
||
|
|
- vyjádření dráhy: $s = v\cdot t$
|
||
|
|
- dosadíme za všechna $R_{x,y,z} \implies$ vzniknou **GT**
|
||
|
|
- $x' = x - u_{x}\cdot t$
|
||
|
|
- $y' = y - u_{y}\cdot t$
|
||
|
|
- $z' = z - u_{z}\cdot t$
|
||
|
|
- $\vec{r}' = \vec{r} - \vec{u}\cdot t$
|
||
|
|
- $t = t'$
|
||
|
|
|
||
|
|
V každé **inerciální soustavě** platí i 2. NZ (**zákon síly**) a pohybové rovnice jsou invariantní vůči **Galileově transformaci**.
|
||
|
|
|
||
|
|
### Nerovnoměrně křivočarý pohyb
|
||
|
|
|
||
|
|
Unášivá rychlost mezi soustavami je v tomto pohybu proměnlivá a může měnit velikost, orientaci i směr a proto **není konstantní**.
|
||
|
|
- $\vec{u} \neq \text{konst.}$
|
||
|
|
- **unášivé zrychlení** $\vec{a_{u}}$ už není nulové, protože se pohybujeme nerovnoměrně $\vec{v}' = \vec{v} - \vec{u} \neq \text{konst.}$
|
||
|
|
- proto bude rozdíl ve zrychlení v první a druhé soustavě
|
||
|
|
- $\vec{a}' = \vec{a} - \vec{a_{u}}$
|
||
|
|
|
||
|
|
Neplatí 1. NZ (**zákon setrvačnosti**), jedná se tedy o **neinerciální soustavu**.
|
||
|
|
|
||
|
|
**Pohybová rovnice** podle 2. NZ
|
||
|
|
- $m\cdot \vec{a}' = m(\vec{a}-\vec{a_{u}}) = m\cdot \vec{a} - m\cdot \vec{a_{u}} = \vec{F} + \vec{F}^* = \vec{F}'$
|
||
|
|
- není již invariantní
|
||
|
|
- objevuje se zde **setrvačná síla**
|
||
|
|
- nutí těleso setrvávat v původním pohybu
|
||
|
|
- $F^* = -m \cdot \vec{a_{u}}$
|
||
|
|
|
||
|
|
Zrychlení je možné rozdělit na dvě složky, **normálovou** a **tečnou**:
|
||
|
|
- $\vec{a_{u}} = \vec{a_{t}} + \vec{a_{n}}$
|
||
|
|
|
||
|
|
Vzorec pro celkovou setrvačnou sílu můžeme rozdělit:
|
||
|
|
- $\vec{F}^* = -m(\vec{a_{t}} + \vec{a_{n}}) = -m\vec{a_{t}} - m\vec{a_{n}} = \vec{F_{n}^*} + \vec{F_{t}^*}$
|
||
|
|
- dostáváme tak **odstředivou sílu** $\vec{F}^*_{n}$ a **Eulerovu (tečnou) sílu** $\vec{F}^*_{t}$
|
||
|
|
|
||
|
|
### Rotační pohyb
|
||
|
|
|
||
|
|
Pro vyjádření pohybové rovnice rotačního pohybu musíme kromě skutečné síly $\vec{F}$, která působí v původní inerciální soustavě, také započítat tři další síly.
|
||
|
|
|
||
|
|
Při rotaci tělesa se k odstředivé a Eulerově síle přidá třetí tzv. **Coriolisova síla** $\vec{F}^*_{c}$.
|
||
|
|
- $\vec{F}_{c}^* = - 2m\cdot \vec{\omega} \cdot \vec{v}'$
|
||
|
|
- objevuje se pouze v případě vlastního pohybu hmotného bodu v neinerciální soustavě takovou rychlostí, která není rovnoběžná s osou rotace
|
||
|
|
|
||
|
|
Celková síla při rotaci potom bude
|
||
|
|
- $\vec{F} + \vec{F}^* + \vec{F}_{t}^* + \vec{F}^*_{n} = \vec{F}'$
|