**Numerické metody pro počáteční úlohy pro obyčejné diferenciální rovnice. Metody Taylorova typu. Rungovy-Kuttovy metody. Vícekrokové metody. Odhad chyby řešení. Pasivní a aktivní extrapolace. Algoritmy typu prediktor-korektor. Lokální a globální chyba. Konzistence, 0-stabilita, A-stabilita a konvergence.**

### NM pro počáteční úlohy ODR

Formulace
- dána
	- funkce $f(x,y)y \quad y \in \mathbb{R}, x \in \langle a,b\rangle$
	- čísla $y_{0} \in \mathbb{R}, x_{0} \in \langle a,b\rangle$
- chceme najít funkci $y(x); \quad x \in \langle x_{0},b\rangle$, která na $(x_{0},b)$ splňuje $y' = f(x,y)$ a splňuje počáteční podmínku $y(x_{0}) = y_{0}$
- funkce $y(x)$ je řešením úlohy

Lipschitzovsky spojitá funkce
- $|f(x,y_{1}) - f(x,y_{2})| \leq L|y_{1}-y_{2}| \quad \forall x \in \langle a,b\rangle, \quad \forall y_{1},y_{2} \in \mathbb{R}$
- Lipschitzovská konstanta $L$ říká, jak moc se změní $f$, když se změní $y$
- pokud je funkce $f$ diferencovatelná podle $y$, tak je funkce omezená $L$
- aby platila věta o řešitelnosti (existovalo řešení), musí být mimo jiné funkce $f$ Lipschitzovsky spojitá

Dělení metod
- metody založené na num. **derivaci** / na num. **integraci**
- **jednokrokové** metody / **vícekrokové** metody
- **explicitní** metody / **implicitní** metody
- metody s **konst. krokem** / s **proměnným krokem**

**Základem metod je diskretizace proměnných.**

**Eulerova metoda**
- nejjednodušší jednokroková explicitní metoda
	- $y' = f(x,y)$
	- $y = y(x); \quad y(x_{k}) \approx y_{k}$
- sestavím Taylorův polynom
	- $y(x_{k+1}) = y(x_{k}) + h\cdot y'(x_{k}) + \frac{h^2}{2}y''(\xi_{k})$
	- $y(x_{k+1}) = y(x_{k}) + h\cdot f(x_{k},y(x_{k})) + \frac{h^2}{2}y''(\xi_{k})$
		- poslední člen zanedbáme
- rekurentní formule
	- $y_{k+1} = y_{k} + h\cdot f(x_{k}, y_{k})$

Diskretizační chyby
- **lokální diskretizační chyba** $d_{k}$
	- nepřesnost s jakou teoretické hodnoty splňují rekurentní vztah pro $y_{k+1}$
	- chyba jednoho kroku metody (za předpokladu, že předchozí hodnoty jsou správné)
- **globální diskretizační chyba** $e_{k}$
	- rozdíl teoretické a vypočtené hodnoty řešení v bodě $x_{k}$
	- $e_{k} = y(x_{k}) - y_{k}$

**Metody Taylorova typu**
- **řád diferenční metody**: největší přirozené číslo $p$ takové, že platí $d_{k} = O(h_{k}^{p+1})$
- hodnota $y(x_{k+1})$ aproximujee pomocí Taylorova polynomu vyššího řádu $p$
- v praxi nepoužívané kvůli vysokým derivacím
- rekurentní formule: $\displaystyle y_{k+1} = y_{k} + h\cdot f(x_{k},y_{k}) + \frac{h^2}{2}f'(x_{k},y_{k}) + \dots + \frac{h^p}{p!}f^{(p-1)}(x_{k}, y_{k})$

**Rungovy-Kuttovy metody**
- také vyhází z Taylorova polynomu, ale nepoužívá se přímo, aby nebylo potřeba vyjadřovat derivace funkce $f$ a počítat jejich hodnoty
- hledanou aproximací je kombinace několika hodnot funkce $f$ ve strategicky volených bodech $(x,y)$ na $\langle x_{k}, x_{k+1}\rangle$
- **Heunova metoda**
	- $y_{k+1} = y_{k} + \frac{h}{2}[f(x_{k},y_{k}) + f(x_{k+1}, \overline{y}_{k+1})]$
	- $\overline{y}_{k+1} = y_{k} + h\cdot f(x_{k}, y_{k})$
	- $d_{k} = 0(h^3), \quad e_{k} = O(h^2)$
- **Modifikovaná Eulerova metoda**
	- $\displaystyle y_{k+1} = y_{k} + h\cdot f\left( x_{k}+\frac{h}{2}, y_{k+1/2} \right)$
	- $y_{k+1/2} = y_{k} + \frac{h}{2}\cdot f(x_{k}, y_{k})$
	- $d_{k} = O(h^3), \quad e_{k} = O(h^2)$

**Vícekrokové metody**
- hodnoty $y_{k+1}$ vypočítáme pomocí hodnot $y_{k-n}, y_{k-n+1}, \dots, y_{k-1}, y_{k}$
- vycházíme z rovnosti $y' = f(x, y(x))$, platí tedy i rovnost integrálů
- $\displaystyle y(x_{k+1}) = y(x_{k}) + \int_{x_{k}}^{x_{k+1}} f(x, y(x)) \, dx$
	- $g(x) = f(x, y(x))$
	- funkcí $g(x)$ aproximujeme interpolačním polynomem, zintegrujeme přesně