**Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav. Metoda prosté iterace, podmínky konvergence, odhad chyby, rychlost konvergence. Newtonova metoda a její konvergence.**

### Nelineární rovnice

Formulace problému
- Je dána spojitá funkce $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ na intervalu $\langle a,b \rangle$.
- Hledáme kořen rovnice $x \in \langle a,b\rangle$ takové, aby $f(x) = 0$.

Metody řešení
- **startovací metody** (vždy konvergují, ale většinou pomalu)
	- metoda bisekce (půlení intervalu)
	- metoda regula falsi
	- metoda prosté iterace
- **zpřesňující metody** (konvergují rychleji, vyžadují dobrý odhad počáteční hodnoty)
	- Newtonova metoda
	- metoda tečen
- **speciální metody**

**Existence řešení**
1. reálná funkce $f$ je spojitá pro $x \in \langle a,b\rangle$
2. platí $f(a) \cdot f(b) < 0$, existuje tedy alespoň jedno řešení $x$ rovnice $f(x) = 0$ na $\langle a,b\rangle$

### Metoda prosté iterace (MPI)

Princip
- původní rovnici $f(x) = 0$ přepíšeme na tvar $x = \varphi(x)$
- to můžeme udělat spoustou způsobů
	- na volbě $\varphi$ závisí konvergence a její rychlost

Algoritmus
1. zvolíme $x_{0} \in \langle a,b\rangle$ a $\epsilon > 0$
2. $x_{k+1} = \varphi(x_{k})$
3. zastavovací podmínka: $|x_{k+1}-x_{k}| < \epsilon$, pak $x = x_{k+1}$
	- vzdálenost dvou po sobě jdoucích iterací
	- neříká nic o tom, jak jsme daleko od kořenu 

Volba $\varphi(x)$
- závisí na ní konvergence a rychlost metody
- je vhodné, aby se fce $\varphi(x)$ co nejvíce blížila konstantní funkci
	- rada: začít s největší možnou odmocninou
	- u polynomu to bude fungovat vždy, u jiných fcí dobrá rada

**Postačující podmínky konvergence MPI**
- funkce $\varphi$ je spojitá na intervalu $I = \langle a,b\rangle$ a platí
	1. funkce $\varphi$ zobrazuje $I$ do sebe
		- $\forall x \in I : \varphi(x) \in I$
	2. funkce $\varphi$ je kontrakce
		- $\exists \, q \in (0,1) : |\varphi(x)-\varphi(y)| \leq q|x-y| \quad \forall x,y \in I$e
		- tím si zajistíme, že každý další dílek je menší než ten předchozí
		- 2 po sobě jdoucí iterace jsou si k sobě čím dál blíž a blíž
1. v intervalu $I$ existuje právě jeden kořen $\alpha$ rovnice $x = \varphi(x)$
2. posloupnost $\{x_{k}\}^\infty_{k=1}$ určená formulí $x_{k} = \varphi(x_{k-1})$ konverguje pro každé $x_{0} \in I$ k přesnému řešení
- pozn: pokud by nebyla funkce spojitá, vůbec by nemusela projít skrz $y = x$

**Rychlost konvergence MPI**
- pokud je funkce diferencovatelná, lze pomocí Taylorova polynomu zjistit rychlost konvergence
- $\varphi'(\alpha) \neq 0 \implies$ rychlost konvergence je řádu 1
- $\varphi'(\alpha) = 0$ a $\varphi''(\alpha) \neq 0 \implies$ rychlost konvergence je řádu 2

**Odhad chyby MPI**
- chyba = vzdálenost mezi přesným a získaným řešením ... $|x_{k} - \alpha|$
- $\displaystyle|x_{k}-\alpha| \leq \frac{q}{1-q}\epsilon$
	- $|x_{k} - x_{k-1}| = \epsilon$
	- kvůli absolutní hodnotě nevíme z jaké strany od přesného řešení jsme
- chceme, aby chyba byla rovna zastavovací podmínce nebo menší
- čím menší $q$, tím menší bude chyba
	- je možné jej vypočítat derivací $\varphi(x)$

### Newtonova metoda

Předpoklady
- v intervalu $I = \langle a,b\rangle$ leží právě 1 jednoduchý kořen $\hat{x}$ rovnice $f(x) = 0$
- máme zadáno $x_{0} \in I$
	- relativně blízko hledanému řešení - zpřesňující metoda
- musí existovat derivace $f'$ funkce $f$

Postup
- uděláme Taylorův rozvoj funkce $f$ v $x_{0}$
	- $f(x) = f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) + \frac{1}{2}f''(\xi)\cdot(x-x_{0})^2$
- dosadíme do $f(x) = 0$
	- $f(x_{0}) + f'(x_{0})\cdot(x-x_{0}) = 0$
		- $(x-x_{0})$ - předpis pro tečnu
- vyjádříme $x$
	- $\displaystyle x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$
	- $\displaystyle x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$ ... iterační formule

Zastavovací podmínka
- dvě možnosti
- vzdálenost 2 po sobě jdoucích iterací (na ose x)
	- $|x_{k+1}-x_{k}| < \epsilon$
- velikost funkční hodnoty (na ose y)
	- $|f(x_{k})| < \delta$

**Geometrický význam (metoda tečen)**
- křivky $y = f(x)$ nahradíme tečnou procházející bodem $x_{k}$
- hodnota $x_{k+1}$ - průsečík tečny s osou $x$

**Postačující podmínka konvergence**
- derivace funkce v kořenu není nulová ... $f'(x) \neq 0$
- druhá derivace $f''$ nemění znaménko v $I = \langle a,b\rangle$
- prochází bodem $x$, kde $f(x) = 0$
	- $f(a)\cdot f(b) < 0$
- $\displaystyle\left| \frac{f(a)}{f'(a)} \right| < b-a, \quad \left| \frac{f(b)}{f'(b)} \right| < a-b$
- poté Newtonova metoda konverguje pro $\forall \, x_{0} \in I$

Rychlost konvergence
- konverguje obvykle rychleji než MPI
- rychlost konvergence závisí na $\varphi'(\alpha)$ resp. $\varphi''(\alpha)$
- $\varphi'(\alpha) = 0$ a $\varphi''(\alpha) \neq 0 \implies$ rychlost konvergence je řádu 2