From b50d296afecfcd620b44744987680b46c3b87a7e Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: BigTire Date: Thu, 5 Jan 2023 21:21:27 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Pozn=C3=A1mky=20k=20v=C4=9Bt=C3=A1m?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/Okruhy/Věty.md | 122 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ 1 file changed, 122 insertions(+) create mode 100644 KMA LAA/Okruhy/Věty.md diff --git a/KMA LAA/Okruhy/Věty.md b/KMA LAA/Okruhy/Věty.md new file mode 100644 index 0000000..d516c94 --- /dev/null +++ b/KMA LAA/Okruhy/Věty.md @@ -0,0 +1,122 @@ +# Formulujte následující tvrzení a věty +### vlastnosti sčítání, násobení matic +- **sčítání matic** + - matice $A, B$ - pouze matice stejného typu + - sčítá se po prvcích => $c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$ + - $C = A + B$ + - odečítání analogicky +- **násobení matic** + - konstantou + - máme matici $A$ a koeficient $k \in \mathbb{C}$ + - **každý prvek matice vynásobíme číslem k** + - $c_{ij} = k * a_{ij}$ + - násobení dvou matic + - $C = A * B$: $A$ typu m/n, $B$ typu n/p + - počet sloupců první matice se musí rovnat počtu řádků druhé matice + - **skalární součin i-tého řádkového vektoru $A$ a j-tého sloupcového vektoru $B$** + - násobení matic není komutativní! + - výsledná matice typu m/p + +### Vietovy vzorce, věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů +- Vietovy vzorce + - máme **polynom proměnné x** - $p(x)$ a kořeny $c_1, c_2, ..., c_n$ polynomu p(x) + - $a_{n-1} = -a_n(c_1, c_2, ..., c_n)$ + +- věta o rozkladu polynomu na součin kořenových činitelů + - každý polynom lze vyjádřit jako: + - $p(x) = (x-c_1)(x-c_2)...(x-c_n)$ + - $c_1, c_2, ..., c_n$ - kořeny polynomu p(x) + +### věta o lin. závislosti prvků +- prvky $v_1, v_2, ..., v_n$ jsou LZ pokud se alespoň jeden z nich dá vyjádřit jako LK ostatních +- každá podmnožina LN pvrků je LN +- každá nadmnožina LZ prvků je LZ +- LZ množina může obsahovat LN množinu +- množina s nulovým prvkem je LZ, {0} je LZ + +### věta o existenci báze, Steinitzova věta o výměně +- **věta o existenci báze** + - v každém nenulovém konečně generovaném $L. V. P. \ \exist$ alespoň jedna báze + - báze nulového (triviálního) $L. V. P.$ je {0} + +- **Steinitzova věta o výměně** + - máme $L. V. P.$ - V, $M = \{g_1, g_2, ..., g_m\}$ ... generátory V, $N = \{b_1, b_2, ..., b_n\}$ ... báze V + - $dim (N) \leq dim (M)$ + - LZ prvky z $M$ lze nahradit prvky z $N$ => $N$ znovu generuje V + +### věta o souřadnicích prvků v bázi +- máme: + - V - nenulový, konečně generovaný $L. V. P.$ + - $B = \{\vec b_1, \vec b_2, ..., \vec b_n\}$ uspořádaná báze V + - koeficienty $c_1, c_2, ..., c_n \in R$ + - $\vec v \in V$ +- **souřadnice prvku** $\vec v$ v bázi $B$ je LK $\vec v = c_1b_1 + c_2b_2 + ... + c_nb_n$ +- značí se $\widehat{\vec v_B} = [c_1, c_2, ..., c_n]^T$ +- je nutné dávat si pozor na pořadí! +- **souřadnice součtu dvou prvků** jsou **součtem souřadnic těchto prvků** + - $\widehat {(\vec v_1 + \vec v_2)} = \widehat {(\vec v_1)} + \widehat {(\vec v_2)}$ +- **souřadnice $\lambda$ - násobku** jsou **rovny $\lambda$ - násobku souřadnic tohoto prvku** + - $\widehat {(\lambda * \vec v)} = \lambda * \widehat {(\vec v)}$ + +### věta o rozvoji determinantu podle řádku +- máme: $A$ - čtvercová matice řádu n, $i \in \{1, 2, ..., n\}$ +- rozvoj podle $i$-tého řádku - $det(A) = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in}$ +- věta platí analogicky i podle sloupce ($det(A) = det(A^T)$) + +### věty o elementárních úpravách determinantu +- **elementární úpravy** + - **prohození dvou řádků matice** + - **vynásobení jednoho řádku matice** (nenulovým číslem) + - **přičtění k-násobku jednoho řádku k jinému** + - pouze pro determinanty platí elementární úpravy i pro sloupce +- **prohození dvou řádků** + - matice $B$ vznikne prohozením dvou řádků $A$ + - $det(B) = -det(A)$ + - má-li matice A dva stejné řádky / sloupce => $det(A) = 0$ +- **vynásobení číslem** + - matice $B$ vznikne vynásobením $i$-tého řádku číslem $c$ + - $det(B) = c * det(A)$ + - má-li $A$ nulový řádek / sloupec => $det(A) = 0$ + +### věta o stupňovitém tvaru matice +- pivot - první nenulový prvek na řádku +- matice je ve **stupňovitém tvaru** pokud: + - pro každý řádek platí: + - je-li pivot na pozici j => ve všech dalších řádcích je pivot na pozici $j' > j$ + - je-li i-tý řádek nulový => další řádky nulové + +### věta o existenci inverzní matice +- inverzní matice $\exist$ pouze pro regulární matice +- inverzní matice je jednoznačně určena + +### věta o dimenzích jádra a obrazu lin. zobr +- Nechť $U, V$ ... lineární vektorové prostory a $\mathbb{L}: U \rightarrow V$ ... lineární zobrazení + - Ker($\mathbb{L}$) ... podprostorem $U$ + - Im($\mathbb{L}$) ... podprostorem $V$ +- dim($U$) = dim(ker($\mathbb{L}$)) + dim(Im($\mathbb{L}$)) + +### vlastnosti izomorfního zobrazení +- Nechť $U, V$ ... lineární vektorové prostory a $\mathbb{L}: U \rightarrow V$ ... lineární zobrazení +- izomorfní zobrazení: $\mathbb{L}: U \rightarrow V$ + - je **prosté** a zároveň **"na"** +- inverzní izomorfní zobrazení: $\mathbb{L}^{-1}: U \rightarrow V$ je též izomorfní +- $\mathbb{L}$ je izoformizmus: + - <=> Ker($\mathbb{L}$) = {$0_U$} a zároveň Im($\mathbb{L}$) = V + - <=> dim($U$) = dim(V) +- pokud je zobrazení izomorfní => $x_1, x_2, ..., x_n \in U$ jsou LZ pokud $\mathbb{L}(x_1), (x_2), ..., (x_n) \in V$ jsou LZ + +### vlastnosti matice přechodu +- nechť $C$, $D$ jsou dvě báze prostoru $U$ +- $T$ je **matice přechodu** od báze $D$ k bázi $C$ + - => 1. $T$ je regulární + - => 2. $T_{\vec u_C} = \vec u_D \forall \vec u \in U$ + - => 3. $T^{-1}$ ... matice přechodu od báze $C$ k bázi $D$ + +### Frobeniova podmínka řešitelnosti soustav +- máme soustavu rovnic ($A*x = b$) +- soustava rovnic má 1 řešení pokud: + - hod($A|b$) = hod($A$) +- soustava nemá řešení pokud: + - hod($A|b$) $\neq$ hod($A$) +- soustava má nekonečně mnoho řešení pokud: + - hod($A|b$) $<$ n (počet neznámých) \ No newline at end of file