From a89ea8c6652f58606d851a0dae0e9093a52341a8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Sun, 15 Jan 2023 10:56:36 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Aprava=20pozn=C3=A1mek=20k=20izomorfn?= =?UTF-8?q?=C3=ADmu=20zobrazen=C3=AD=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md | 18 ++++++++++++++---- 1 file changed, 14 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md index 0830855..529b040 100644 --- a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md +++ b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md @@ -35,20 +35,30 @@ Zobrazení $\mathbb F$ definované vztahem $\mathbb F(x) = (x)$. ### Prosté zobrazení -Každý prvek z prostoru $\mathcal U$ se zobrazí pouze na jeden prvek z prostoru $\mathcal V$ a naopak. +Žádné dva rozdílné prvky se **nezobrazí** na jeden stejný prvek. - $Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ - $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0$ ### Zobrazení na -Zobrazuje na celou cílovou množinu. +Celý prostor $\mathcal{U}$ se zobrazuje na celý prostor $\mathcal{V}$. - $\forall v \in \mathcal V : \exists u \in \mathcal U : f(u) = v$ +- $Im(\mathbb{L}) = \mathcal{V}$ ### Izomorfní zobrazení Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté a na**, dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V. -- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)$ -- $\dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)$ +- platí zároveň + - $Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ + - $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)$ +- dimenze obou prostorů se musí rovnat, jinak se nejedná o izomorfizmus + - $\dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)$ + +**Vlastnosti** +- **matice $M$ lineárního zobrazení** pro izomorfní zobrazení **je regulární** +- inverzní izomorfní zobrazení $\mathbb L^{-1}:\mathcal{V} \to \mathcal{U}$ je také izomorfní + - matice lin. zobrazení pro inverzní izomorfní zobrazení je $M^{-1}$ +- prvky $\vec{x}_{1}, \vec{x}_{2}, \dots, \vec{x}_{n} \in \mathcal{U}$ jsou **LZ**, pokud $\mathbb L(\vec{x}_{1}), \mathbb L(\vec{x}_{2}), \dots, \mathbb L(\vec{x}_{n}) \in \mathcal{V}$ jsou **LZ** ### Inverzní zobrazení