From 767a5d2e921031b4656cad205e0ecb624e87893f Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 12 Jan 2023 13:25:29 +0100 Subject: [PATCH 1/5] =?UTF-8?q?=C3=9Aprava=20form=C3=A1tov=C3=A1n=C3=AD=20?= =?UTF-8?q?operac=C3=AD=20s=20polynomy=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/1. Polynomy.md | 18 +++++++++--------- ...rovo schéma, rozklad na kořenové činitele.md | 18 +++++++++--------- 2 files changed, 18 insertions(+), 18 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/1. Polynomy.md b/KMA LAA/1. Polynomy.md index fe22784..2faea9b 100644 --- a/KMA LAA/1. Polynomy.md +++ b/KMA LAA/1. Polynomy.md @@ -24,27 +24,27 @@ Nulový polynom je polynom, který má všechny **koeficienty rovny 0**. ### Operace s polynomy 1) Rovnost: $p(x) = q(x)$ - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ - $q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$ + - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ + - $q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$ 2) Opačný polynom: $-p(x)$ - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ - $-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$ + - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ + - $-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$ 3) Součet: $p(x) + q(x)$ - $p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$ + - $p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$ 4) Rozdíl: $p(x) - q(x)$ - $p(x) - q(x) = u(x) = o$ + - $p(x) - q(x) = u(x) = o$ 5) k-násobek: $k \times p(x)$ - $-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$ + - $-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$ 6) Součin: $p(x) \times q(x)$ - $p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$ + - $p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$ 7) Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$ - písemné dělení + - písemné dělení ### Funkční hodnota v bodě diff --git a/KMA LAA/Okruhy/1. Mnohočleny, Hornerovo schéma, rozklad na kořenové činitele.md b/KMA LAA/Okruhy/1. Mnohočleny, Hornerovo schéma, rozklad na kořenové činitele.md index 2005928..1ba3a92 100644 --- a/KMA LAA/Okruhy/1. Mnohočleny, Hornerovo schéma, rozklad na kořenové činitele.md +++ b/KMA LAA/Okruhy/1. Mnohočleny, Hornerovo schéma, rozklad na kořenové činitele.md @@ -27,27 +27,27 @@ Stupeň nulového polynomu je roven mínus nekonečnu - $st(n(x)) = -\infty$ ### Operace s polynomy 1) Rovnost: $p(x) = q(x)$ - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ - $q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$ + - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ + - $q(x) = 6 - 3x^2 - 8x + 6x^2$ 2) Opačný polynom: $-p(x)$ - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ - $-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$ + - $p(x) = 3x^2 - 8x + 6$ + - $-p(x) = -3x^2 + 8x - 6$ 3) Součet: $p(x) + q(x)$ - $p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$ + - $p(x) + q(x) = 6x^2 - 16x + 12$ 4) Rozdíl: $p(x) - q(x)$ - $p(x) - q(x) = u(x) = o$ + - $p(x) - q(x) = u(x) = o$ 5) k-násobek: $k \times p(x)$ - $-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$ + - $-3 \times p(x) = -9x^2 + 24x - 18$ 6) Součin: $p(x) \times q(x)$ - $p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$ + - $p(x) \times q(x) = 9x^4 - 48x^3 + 100x^2 - 96x + 36$ 7) Podíl: $\frac{p(x)}{q(x)}$ - písemné dělení + - písemné dělení ### Funkční hodnota v bodě From 55e3e2638842fcaf1ce864f09ef7394c6e242ca3 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 12 Jan 2023 13:57:04 +0100 Subject: [PATCH 2/5] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=20vlastnost=C3=AD=20?= =?UTF-8?q?determinantu=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/4. Determinant matice.md | 16 +++++++++++++++- 1 file changed, 15 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/KMA LAA/4. Determinant matice.md b/KMA LAA/4. Determinant matice.md index 5273d92..a922ac1 100644 --- a/KMA LAA/4. Determinant matice.md +++ b/KMA LAA/4. Determinant matice.md @@ -87,7 +87,7 @@ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$. - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek - $det(A) = det(A^{T})$ -#### Algebraický doplněk matice +### Algebraický doplněk matice Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. - $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$ @@ -103,6 +103,20 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t - přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému - pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy +### Vlastnosti determinantu + +1. $\det I = 1$ +2. Výměna řádků otočí znaménko +3. Vynásobení řádku číslem $a$ znamená $a \cdot \det \dots$ +4. $\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}$ +5. Dva stejné řádky $\implies \det A = 0$ +6. Řádek samých nul $\implies \det A = 0$ +7. Přičtení $a$-násobku jiného řádku $\implies \det A$ je stejný +8. Trojúhelníková matice $\implies \det A$ je součin prvků na diagonále +9. Singulární matice $\implies \det A = 0$ (nesingulární $\implies \det A \neq 0$) +10. $\det A \cdot B = \det A \cdot \det B\quad\left( \det A^{-1} = \frac{1}{\det A} \right)$ +11. $\det A^T = \det A$ + ### Věty Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$. From 03e89c2033ab335a1800845e7f9ef302570db8ee Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 12 Jan 2023 15:38:34 +0100 Subject: [PATCH 3/5] =?UTF-8?q?=C3=9Apravy=20pozn=C3=A1mek=20k=20determina?= =?UTF-8?q?nt=C5=AFm=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/4. Determinant matice.md | 49 ++++++++++++++++++-------------- 1 file changed, 28 insertions(+), 21 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/4. Determinant matice.md b/KMA LAA/4. Determinant matice.md index a922ac1..e1908c4 100644 --- a/KMA LAA/4. Determinant matice.md +++ b/KMA LAA/4. Determinant matice.md @@ -66,14 +66,16 @@ J_{2} & \mathbf{2} & 4 & 3 & \mathbf{1} & 5 \end{matrix} $$ +### Znaménko permutace $\pi$ + Permutace je **sudá nebo lichá** podle sudého nebo lichého počtu transpozic. -- **Znaménko permutace** $\pi$ je pak číslo - - $$ - zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases} - $$ -- Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace. - - $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$ + +$$ +zn(\pi) = \begin{cases}1, \text{je-li } \pi \text{ sudá} \\ -1, \text{je-li } \pi \text{ lichá}\end{cases} +$$ + +Znaménko permutace vzniklé složením dvou permutací se rovná součinu znamének každé permutace. +- $zn(\pi_1 \circ \pi_{2}) = zn(\pi_{1}) \cdot zn(\pi_{2})$ ## Determinant @@ -85,23 +87,29 @@ kde sčítáme přes všechny permutace na množině $\{1, 2, \dots, n\}$. - determinant je suma všech permutací vzniklých z diagonálního řádku matice, kde sudá permutace je s kladným znaménkem a lichá se záporným - v součinu prvků v definici determinantu je z každého řádku a z každého sloupce vybrán právě jeden prvek -- $det(A) = det(A^{T})$ +- $\det(A) = \det(A^{T})$ ### Algebraický doplněk matice Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-tého sloupce. - $(-1)^{i+j} \det A[\cancel{i/j}]$ -### Rozvoj podle i-tého řádku +Symbolem $A[\cancel{i/j}]$ značíme matice A s vynechaným $i$-tým řádkem a $j$-tým sloupcem. -- A je čtvercová matice řádu $n$ -- $i \in {\{ 1, 2, ..., n \}}$ -- $det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + ... + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ -- elementární úpravy: - - prohození dvou řádků matice - - vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem - - přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému -- pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy +### Rozvoj podle i-tého řádku (sloupce) + +Nechť A je čtvercová matice řádu $n$ a $i \in {\{ 1, 2, \dots, n \}}$. + +$\displaystyle \det(A) = a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2} + \dots + a_{in}A_{in} = \sum_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}$ + +**Elementární úpravy**: +- prohození dvou řádků matice +- vynásobení (vydělení) řádku matice nenulovým číslem +- přičtení $k$-násobku $i$-tého řádku k $j$-tému + +Pro determinanty můžeme využívat analogicky i sloupcové elementární úpravy, protože $\det(A) = \det(A^T)$. + +Rozvojem se řeší všechny determinanty řádu $\geq 4$. ### Vlastnosti determinantu @@ -109,8 +117,8 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t 2. Výměna řádků otočí znaménko 3. Vynásobení řádku číslem $a$ znamená $a \cdot \det \dots$ 4. $\displaystyle\begin{bmatrix}a+a' & b+b' \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a' & b' \\ c & d\end{bmatrix}$ -5. Dva stejné řádky $\implies \det A = 0$ -6. Řádek samých nul $\implies \det A = 0$ +5. Dva stejné řádky/sloupce $\implies \det A = 0$ +6. Řádek/sloupec samých nul $\implies \det A = 0$ 7. Přičtení $a$-násobku jiného řádku $\implies \det A$ je stejný 8. Trojúhelníková matice $\implies \det A$ je součin prvků na diagonále 9. Singulární matice $\implies \det A = 0$ (nesingulární $\implies \det A \neq 0$) @@ -120,8 +128,7 @@ Subdeterminant (minor) vzniklý z matice vynecháním $i$-tého řádku a $j$-t ### Věty Nechť matice B vznikne z matice A prohozením dvou řádků (sloupců). Potom $\det(B) = -\det(A)$. -- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. -- z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $det(A)$ +- **DK**: Prohozením dvou řádků (sloupců) se změní počet transpozic v každé permutaci o 1, tedy znaménka se změní v opačná. Z definice determinantu pak plyne, že determinant vyjde opačný k $\det(A)$. Má-li matice A **dva stejné řádky** nebo **sloupce**, potom $\det(A) = 0$. - **DK**: Matice B vznikne z matice A prohozením dvou stejných řádků (sloupců). From 7df71d074646e3d8a5b2f16ea46b3e825b04e583 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 12 Jan 2023 15:38:56 +0100 Subject: [PATCH 4/5] =?UTF-8?q?=C3=9Apravy=20pozn=C3=A1mek=20k=20line?= =?UTF-8?q?=C3=A1rn=C3=ADm=20zobrazen=C3=ADm=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md | 53 ++++++++++++++++------- 1 file changed, 38 insertions(+), 15 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md index 06d8fbf..e05dc03 100644 --- a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md +++ b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md @@ -14,16 +14,31 @@ Vektorový prostor V nad tělesem K: - sčítání: $V + V \to V$ - násobení: $K \cdot V \to V$ -| typ | pro všechna | platí | -| --- | ------------------------------------------------- | --------------------------------------------------------------- | -| S | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{w}$ | -| S | $\forall \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} \in V$ | $\vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ | -| S | $\exists \vec{o} \in V : \forall \vec{u} \in V$ | $\vec{u} + \vec{o} = \vec{u}$ | -| S | $\forall \vec{u} \in V \ \ \exists \vec{v} \in V$ | $\vec{u} + \vec{v} = \vec{o}$ | -| N | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $a \cdot (b \cdot \vec{u}) = (a \cdot b) \cdot \vec{u}$ | -| N | $\forall \vec{u} \in V$ | $1 \cdot \vec{u} = \vec{u}$ | -| D | $\forall \vec{u} \in V, \forall a, b \in K$ | $(a + b) \cdot \vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}$ | -| D | $\forall \vec{u}, \vec{v} \in V, \forall a \in K$ | $a \cdot (\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}$ | +## Lineární vektorový prostor + +**Lineární vektorový prostor nad tělesem $\mathbb T$** (nad $\mathbb{C}$ nebo $\mathbb{R}$) je neprázdná množina $\mathcal{V}$, kde pro každé $\vec x, \vec y, \vec z \in \mathcal{V}$ a pro každé $k, l \in \mathbb T$ platí: + +| vlastnost | název | +| ----------------------------------------------------------------------------------------------- | --------------- | +| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = \vec x + \vec y$ | sčítání | +| existuje právě jeden prvek $\vec u \in \mathcal{V}$ tak, že $\vec u = k \vec x$ | násobení | +| $(\vec x + \vec y) + \vec z = \vec x + (\vec y + \vec z)$ | | +| existuje prvek $\vec o \in \mathcal{V}$ takový, že $\vec x + \vec o = \vec o + \vec x = \vec x$ | neutrální prvek | +| existuje prvek $-\vec{x}$ takový, že $\vec{x} + (-\vec{x}) = -\vec{x} + \vec{x} = \vec{o}$ | opačný prvek | +| $(k+l)\vec x = k\vec x + l\vec x$ | | +| $(kl)\vec x = k(l\vec x)$ | | +| $1\vec x = \vec x$ | | +| $k(\vec x + \vec y) = k\vec x + k\vec y$ | | + +### Základní vlastnosti LVP + +- nulový prvek je určen jednoznačně +- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{x}+\vec{z}$, pak $\vec{y}=\vec{z}$ +- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je opačný prvek $-\vec{x}$ určen jednoznačně +- je-li $\vec{x}+\vec{y}=\vec{z}$, pak $\vec{x}=\vec{z}+(-\vec{y})$ +- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ a $k \in \mathbb{R}$ je $0\vec{x}=k\vec{o}=\vec{o}$ +- pro všechna $\vec{x} \in \mathcal{V}$ je $-1\vec{x}=-\vec{x}$ +- je-li $k\vec{x}=\vec{o}$, pak buď $k=0$ nebo $\vec{x}=\vec{o}$ ### Podprostor @@ -34,6 +49,19 @@ Máme lineární vektorový prostor $V$ a jeho podprostor $U \subset V$, jestli Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem. +### Lineární kombinace + +Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$, kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty. + +#### Lineární (ne)závislost + +Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků. V opačném případě budou prvky **lineárně závislými** (**LZ**). + +#### Lineární obal + +Všechny lineární kombinace zadaných vektorů. +- zapisujeme $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$ + ### Generující množina Množina $M = \{\vec{v_{1}}, \vec{v_{2}}, \dots, \vec{v_{k}}\} \subseteq V$ generuje lineární vektorový prostor, jestliže se lineární kombinace všech prvků M rovná prostoru V, tedy $\langle M \rangle = V$. @@ -73,11 +101,6 @@ $$\widehat{(\lambda \cdot\vec{v_{2}})}_{B} = \lambda \cdot \widehat{\vec{v_{2}}_ 3. Pomocí GJEM převedeme levou stranu matice do tvaru jednotkové matice. 4. Na pravé straně máme souřadnice v zadané bázi. -### Lineární obal - -- všechny lineární kombinace zadaných vektorů -- $\langle\vec{u}; \vec{v}\rangle = \{ \lambda_{1} \cdot \vec{u} + \lambda_{2} \cdot \vec{v} \}$ - ### Operace s podprostory - Sjednocení $u_{1} \cup u_{2}$ From ab49b41abf26a06fd3d2be8f012178584bdbb122 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Sat, 14 Jan 2023 20:53:49 +0100 Subject: [PATCH 5/5] =?UTF-8?q?Dopln=C4=9Bn=C3=AD=20pozn=C3=A1mek=20k=20li?= =?UTF-8?q?ne=C3=A1rn=C3=ADmu=20zobrazen=C3=AD,=20hodnosti=20matice=20a=20?= =?UTF-8?q?LVP=20v=20LAA?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md | 4 +- KMA LAA/5. Hodnost matice.md | 7 ++-- KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md | 46 ++++++++++++++--------- 3 files changed, 34 insertions(+), 23 deletions(-) diff --git a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md index e05dc03..d34005b 100644 --- a/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md +++ b/KMA LAA/3. Lineární vektorové prostory.md @@ -51,11 +51,11 @@ Každý podprostor vektorového prostoru je také vektorovým prostorem. ### Lineární kombinace -Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$, kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty. +Prvek $\lambda_{1} \vec v_{1} + \lambda_{2} \vec v_{2} + \dots + \lambda_{k} \vec v_{k}$ (**LK**), kde $\vec v_{i}$ jsou prvky LVP $\mathcal{V}$ a $\lambda_{i}$ jsou koeficienty. #### Lineární (ne)závislost -Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků. V opačném případě budou prvky **lineárně závislými** (**LZ**). +Prvky nazveme **lineárně nezávislými** (**LN**), jestliže se žádný z nich nedá vyjádřit lineární kombinací ostatních prvků (neboli $LK = \vec{o}$, jedině když $\lambda=0$). V opačném případě budou prvky **lineárně závislé** (**LZ**). #### Lineární obal diff --git a/KMA LAA/5. Hodnost matice.md b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md index d254bc4..c8d2210 100644 --- a/KMA LAA/5. Hodnost matice.md +++ b/KMA LAA/5. Hodnost matice.md @@ -70,13 +70,15 @@ Každou **regulární matici** lze řádkovými elementárními úpravami přev Determinant **trojúhelníkové matice** je roven **součinu prvků na hlavní diagonále**. -Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minořem řádu** $m$ matice A. +Determinant libovolné **čtvercové podmatice** řádu $m$ se nazývá **minorem řádu** $m$ matice A. + +**Hodnost matice** $A$ je rovna **rozměru největšího nenulového subdeterminantu**. Nechť A je matice. Potom je $hod(A) = m$ právě tehdy, - když v A existuje **nenulový minor řádu** $m$ - a zároveň každý **minor řádu většího než** $m$ **je nulový**. -Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0** +Nechť A je čtvercová řádu $n$. Potom $hod(A) = n$, **pokud se $\det(A)$ nerová 0**. - **DK**: Podle předchozí věty je $hod(A) = n \iff$ v A existuje nenulový minor řádu $n$. - Víme, že jedinému minoru řádu $n$ odpovídá celá matice A, tedy $hod(A) = n \iff \det(A)$ **se nerovná 0**. @@ -99,4 +101,3 @@ Pokud je matice A regulární, je možné získat inverzní matici. $\displaystyle A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot A^A$ ![[_assets/inverzni-matice-determinant.jpg]] - diff --git a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md index 7a76bc4..0830855 100644 --- a/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md +++ b/KMA LAA/6. Lineární zobrazení.md @@ -1,24 +1,22 @@ # Lineární zobrazení -- $U = R^4$ - před zobrazením -- $V = R^3$ - po zobrazení -- $\mathbb{L} : U \to V$ +- $\mathcal{U} = R^4$ - LVP před zobrazením +- $\mathcal{V}= R^3$ - LVP po zobrazení +- $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ + +Zobrazení $\mathbb L : \mathcal{U} \to \mathcal{V}$ kde $\mathcal{U}, \mathcal{V}$ jsou LVP, jestliže pro každé $\vec x, \vec y \in \mathcal{U}$ a pro každé $c \in \mathbb R$ platí: +1. $\mathbb{L}(\vec x + \vec y) = \mathbb{L}(\vec x) + \mathbb{L}(\vec y)$ +2. $\mathbb{L}(c \cdot \vec x) = c \cdot \mathbb{L}(\vec x)$ Nazývá se také **homomorfizmus**. -$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(U)$ - -### Ověření linearity zobrazení - -- zkontrolovat, že platí - - $\mathbb{L}(V + V) = \mathbb{L}(V) + \mathbb{L}(V)$ - - $\mathbb{L}(k \cdot V) = k \cdot \mathbb{L}(V)$ +$\dim(Ker \space \mathbb L) + \dim(Im \space \mathbb L) = \dim(\mathcal U)$ ### Jádro - všechny LK vektorů před zobrazením, které se po zobrazení rovnají 0 - zjištění přes zjištění LK - - $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$ + - $Ker \space \mathbb{L} = \{ \forall \vec x \in \mathcal U; \mathbb L (\vec x) = 0 \}$ - zápis: $Ker \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobrazí na nulový vektor (tedy si vyjádřím např. $a, b, c$). @@ -26,25 +24,37 @@ Zapíšu zobrazení do matice, po provedení GJEM zjistím, které prvky se zobr ### Obraz - všechny LK vektorů po zobrazení - - $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in V; \exists \vec x U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$ + - $Im \space \mathbb{L} = \{ \vec y \in \mathcal V; \exists \vec x \in \mathcal U, \mathbb{L}(\vec x) = \vec y \}$ - zápis: $Im \space \mathbb{L} = \langle \vec{u}; \vec{v} \rangle$ Vypočítám jej opět zapsáním zobrazení do matice a provedením GJEM. Obrazem je poté LN množina vektorů (podobné jako u báze). ### Identické zobrazení -Zobrazení definované vztahem $F(x) = (x)$. +Zobrazení $\mathbb F$ definované vztahem $\mathbb F(x) = (x)$. ### Prosté zobrazení -Každý prvek z prostoru $U$ se zobrazí přesně na jeden prvek z prostoru $V$. -- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ +Každý prvek z prostoru $\mathcal U$ se zobrazí pouze na jeden prvek z prostoru $\mathcal V$ a naopak. +- $Ker \space \mathbb{L} = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ +- $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = 0$ + +### Zobrazení na + +Zobrazuje na celou cílovou množinu. +- $\forall v \in \mathcal V : \exists u \in \mathcal U : f(u) = v$ ### Izomorfní zobrazení -Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté** a dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V. -- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(V)$ -- $\dim(U) = \dim(V)$ +Lineární zobrazení je **izomorfizmem**, pokud je **prosté a na**, dimenze jeho obrazu je stejná jako dimenze prostoru V. +- platí $\dim(Ker \space \mathbb{L}) = \{\vec{o}_{\mathcal U}\}$ a $\dim(Im \space \mathbb{L}) = \dim(\mathcal V)$ +- $\dim(\mathcal U) = \dim(\mathcal V)$ + +### Inverzní zobrazení + +Je-li $f : A \to B$ zobrazení, pak inverzním zobrazením je $f^{-1} : B \to A$. +- $f^{-1}(b) = a$ +- $f(a) = b$ ## Matice lineárního zobrazení