From 81d2fb09cddc78de7e419ddb8f7ba11dd9042f59 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Thu, 2 Feb 2023 18:09:59 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?P=C5=99id=C3=A1n=C3=AD=20postup=C5=AF=20k=20v?= =?UTF-8?q?=C3=BDpo=C4=8Dtu=20dal=C5=A1=C3=ADch=20limit=20v=20M1?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA M1/Příklady.md | 22 +++++++++++++++++++--- 1 file changed, 19 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/KMA M1/Příklady.md b/KMA M1/Příklady.md index 18c360d..b7f92dc 100644 --- a/KMA M1/Příklady.md +++ b/KMA M1/Příklady.md @@ -2,18 +2,34 @@ ### Limita se zlomkem -$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2} = \frac{2}{3}$ +$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3+3n}{3n^3+n^2}\right) = \frac{2}{3}$ - Ve jmenovateli i čitateli jsou nejvyšší mocniny $n^a$ stejné (zde $n^3$), proto se limita bude rovnat koeficientům před nimi ve zlomku. -$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \frac{3n^2 + n}{5n - 4} = +\infty$ +$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{3n^2 + n}{5n - 4}\right) = +\infty$ - Pokud je v čitateli vyšší mocnina $n^a$ než ve jmenovateli, je limita $+\infty$. -$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n} = 0$ +$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\frac{2n^3 + n^2}{9n^4 - 2n}\right) = 0$ - Pokud je ve jmenovateli vyšší mocnina $n^a$ než v čitateli, je limita $0$. $\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^2}{n+3} - \frac{n^2}{n+2} \right) = \lim_{ n \to \infty } \left( \frac{n^3+2n^2-n^3-3n^2}{(n+3)(n+2)} \right) = \dots$ - Pokud jsou v limitě dva zlomky, které po dosazení vyjdou jako neurčitý výraz, je potřeba je roznásobit. +### Limita s odmocninou + +$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left(\sqrt{ n+1 } - \sqrt{ n }\right) = \lim_{ n \to \infty } \left(\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}\right) = 0$ +- Vynásobíme $\displaystyle\frac{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}$, čímž získáme $\frac{n+1-n}{\sqrt{ n+1 } + \sqrt{ n }}$. (Využití vzorečku $(a-b)(a+b) = a^2+b^2$.) + +### Limita s Eulerovým číslem + +$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n+5} \right)^{n-3} = 1$ +- Hodnota před $n$ je stejná jako v jmenovateli, tak v mocnině, limita je tedy $1$ (číslo v čitateli zlomku). + +$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-1}{n+9} \right)^{7n} = \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{-7}{7n+63} \right)^{7n} = e^{-7}$ +- Hodnota před $n$ není ve jmenovateli a v mocnině stejná, proto musím zlomek vynásobit vhodným číslem, aby tato rovnost platila, v tomto případě číslem $7$. + +$\displaystyle\lim_{ n \to \infty } \left( 1+\frac{9}{n^2} \right)^{7-5n^3} = e^{\frac{n^2}{-n^3}} = 0$ +- Každé $n$ je umocněno jiným číslem, proto výsledek zapíšu jako $e$ umocněné na $\displaystyle\frac{\text{jmenovatel}}{\text{mocnina}}$ a tento výraz dále upravuji. + ### Limita funkce ### Derivace