From 756bdd4a7dbcef1fb1625f8a7837fa95640f8891 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Filip Znachor <filip@znachor.cz>
Date: Wed, 25 Jan 2023 15:10:50 +0100
Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Dopln=C4=9Bn=C3=AD=20pozn=C3=A1mek=20k=20ur?=
 =?UTF-8?q?=C4=8Dit=C3=BDm=20integr=C3=A1l=C5=AFm=20a=20oprava=20p=C5=99ek?=
 =?UTF-8?q?lepu=20v=20M1?=
MIME-Version: 1.0
Content-Type: text/plain; charset=UTF-8
Content-Transfer-Encoding: 8bit

---
 KMA M1/7. Neurčité integrály.md |  2 +-
 KMA M1/8. Určité integrály.md   | 54 ++++++++++++++++++++++++++++++++-
 2 files changed, 54 insertions(+), 2 deletions(-)

diff --git a/KMA M1/7. Neurčité integrály.md b/KMA M1/7. Neurčité integrály.md
index d99c191..e56dc03 100644
--- a/KMA M1/7. Neurčité integrály.md	
+++ b/KMA M1/7. Neurčité integrály.md	
@@ -39,7 +39,7 @@ Některé integrály se mohou cyklit (typicky ty obsahující goniometrické fun
 
 **Postup:**
 - Postupujeme podle per-partes (a zachováváme pořadí, ve kterém jsme dosazovali).
-- Po několikak krocích se dostaneme do stavu, kdy se ve výsledku opět objeví stejný integrál jako v zadání.
+- Po několika krocích se dostaneme do stavu, kdy se ve výsledku opět objeví stejný integrál jako v zadání.
 - Vytvoříme rovnici **původní integrál = aktuální postup** a vyjádříme původní integrál (většinou přičtením a vydělením dvěma).
 
 ### 1. substituční metoda
diff --git a/KMA M1/8. Určité integrály.md b/KMA M1/8. Určité integrály.md
index d596978..e820ae2 100644
--- a/KMA M1/8. Určité integrály.md	
+++ b/KMA M1/8. Určité integrály.md	
@@ -5,4 +5,56 @@ $$
 a = x_{0} < x_{1} < x_{2} < \dots < x_{n-1} < x_{n} = b
 $$
 
-kde čísla $x_i$ jsou **dělící body** intervalu.
\ No newline at end of file
+kde čísla $x_i$ jsou **dělící body** intervalu.
+
+### Integrální součty
+
+1) **Horní integrální součet** funkce $f$ příslušný dělení $D$ je číslo $\displaystyle s(f, D) = \sum_{i=1}^n \inf_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}$.
+2) **Dolní integrální součet** funkce $f$ příslušný dělení $D$ je číslo $\displaystyle S(f, D) = \sum_{i=1}^n \sup_{x \in \langle x_{i-1};x_{i} \rangle} f(x) \cdot \Delta x_{i}$.
+
+### Riemannovsky integrovatelná funkce
+
+Mějme funkci $f$, která je definovaná a omezená na uzavřeném intervalu $\langle a;b \rangle$. Dále uvažujeme množinu $\mathcal{D}$ všech možných dělení $D$ tohoto intervalu $\langle a;b\rangle$.
+
+Řekneme, že funkce $f$ je (**Riemannovsky**) **integrovatelná** na intervalu $\langle a;b\rangle$, pokud existuje číslo $I \in \mathbb{R}$ takové, že platí
+$$
+\displaystyle I = \sup s(f,D) = \inf S(f,D); D \in \mathcal{D}.
+$$
+Číslo $I$ potom nazýváme **určitý integrál** funkce $f$ na intervalu $\langle a; b \rangle$ a píšeme $\displaystyle\int_{a}^{b} f(x) \, dx = I$.
+
+Dále pro $a>b$ definujeme
+$$
+\int_{a}^b f(x) \, dx = - \int_{b}^a f(x) \, dx, \qquad \int _{a}^a f(x) \, dx = 0.
+$$
+
+Je-li funkce $f$ spojitá na intervalu $\langle a;b \rangle$, potom je na tomto intervalu integrovatelná.
+
+#### Newtonova-Leibnizova věta
+
+Mějme funkci $f$, která je Riemannovsky integrovatelná na intervalu $\langle a;b \rangle$. Dále mějme funkci $F$, která je spojitá na intervalu $\langle a;b \rangle$ a je primitivní funkcí k funkci $f$ na $(a;b)$. Potom platí
+$$
+\displaystyle \int^b_{a} f(x) \, dx = [F(x)]^b_{a} = F(b) - F(a). 
+$$
+
+### Linearita určitého integrálu
+
+Mějme funkce $f, g$, které jsou integrovatelné na intervalu $\langle a;b \rangle$. Potom platí:
+1) $\displaystyle\int^b_{a} (f(x) + g(x)) \, dx = \int_{a}^b f(x) \, dx + \int _{a}^b g(x) \, dx$
+2) $\displaystyle\int_{a}^b cf(x) \, dx = c \int_{a}^b f(x) \, dx, \quad c \in \mathbb{R}$
+
+### Aditivita určitého integrálu
+
+Mějme funkci $f$, která je integrovatelná na intervalu $\langle a;b \rangle$. Pro libovolné $c \in (a;b)$ potom platí
+$$
+\int_{a}^b f(x) \, dx = \int_{a}^c f(x) \, dx + \int_{c}^b f(x) \, dx
+$$
+
+### Per-partes
+
+Mějme funkce $u, v$, které jsou spojité na intervalu $\langle a;b \rangle$ a jejich derivace $u', v'$ jsou integrovatelné na tomto intervalu. Potom platí
+$$
+\int_{a}^b f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^g(b) f(y) \, dy.
+$$
+
+
+