From 405b5774e8c7fda2b528696d8c6fd78bba5960d0 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Wed, 25 Jan 2023 16:59:39 +0100 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?Rozd=C4=9Blen=C3=AD=20limity=20do=20samostatn?= =?UTF-8?q?=C3=A9ho=20souboru=20v=20M1?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA M1/1. Posloupnosti.md | 69 +-------------------------------------- KMA M1/2. Limita.md | 63 +++++++++++++++++++++++++++++++++-- 2 files changed, 62 insertions(+), 70 deletions(-) diff --git a/KMA M1/1. Posloupnosti.md b/KMA M1/1. Posloupnosti.md index 94ad38c..d51262b 100644 --- a/KMA M1/1. Posloupnosti.md +++ b/KMA M1/1. Posloupnosti.md @@ -36,71 +36,4 @@ Minimem (max, inf, sup) posloupnosti $(a_n)$ s oborem hodnot $H$ je minimem (max #### Zjištění monotonie 1) Tipnu a ověřím -2) Otazníčková metoda - -## Limita - -### Vlastní limita - -Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud - $\displaystyle \forall \epsilon \in R > 0 \ \ \ \exists n_{0} \in N \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon$ - -Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$ - -Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$ -- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem - -### Nevlastní limita - -Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud - -$\displaystyle \forall h > 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$ - -$\displaystyle \forall d < 0 \ \ \ \exists n_{0} \ \ \ \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$ - -Píšeme - $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$ - $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$ - -### Jednoznačnost limity - -Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu - -### Algebra vlastních limit - -Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak -1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována, - -2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována, - -3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována - -### Eulerovo číslo - -- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"| -- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ - -## Konvergence a divergence - -Řekněme, že $(a_n)$ je - -| značka | typ | podmínka | -| ------ | ----------------------- | -------------------------------- | -| **K** | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu | -| **D** | divergentní | není-li konvergentní | -| | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ | -| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ | - -### Omezenost a limity -1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**) - -2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**) - -3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**) - -Dále také -1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**) - -2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$ - -3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$ \ No newline at end of file +2) Otazníčková metoda \ No newline at end of file diff --git a/KMA M1/2. Limita.md b/KMA M1/2. Limita.md index 5e45870..0313333 100644 --- a/KMA M1/2. Limita.md +++ b/KMA M1/2. Limita.md @@ -1,5 +1,64 @@ # Limita -### Vlastní +### Vlastní limita -todo \ No newline at end of file +Posloupnost $(a_n)$ má vlastní limitu $a \in R$, pokud +$$\displaystyle \forall \epsilon \in \mathbb{R} > 0 \quad \exists n_{0} \in \mathbb{N} \quad \forall n \in \mathbb{N} : n > n_{0} \implies |a_{n} - a| < \epsilon.$$ + +Píšeme $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ nebo $a_{n} \to a$. + +Pozn.: $a - \epsilon < a_{n} < a + \epsilon$ +- Pro jakoukoli šířku pásma existuje standardní hodnota, všechna následující $n$ mají $a_n$ uvnitř $\epsilon$-pásem + +### Nevlastní limita + +Posloupnost $(a_n)$ má nevlastní limitu $+\infty$, pokud +$$\displaystyle \forall h > 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} > h$$ +$$\displaystyle \forall d < 0 \quad \exists n_{0} \quad \forall n \in N : n > n_{0} \implies a_{n} < d$$ + +Píšeme +- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = +\infty$ nebo $a_{n} \to +\infty$ +- $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = -\infty$ nebo $a_{n} \to -\infty$ + +### Jednoznačnost limity + +Každá posloupnost má nejvýše 1 limitu. + +### Algebra vlastních limit + +Nechť $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = a$ a $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } b_{n} = b$, pak +1) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\alpha \times a_{n} + \beta \times b_{n}) = \alpha \times a + \beta \times b$, pokud je pravá strana definována, + +2) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (a_{n} \times b_{n}) = a \times b$, pokud je pravá strana definována, + +3) $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}$, pokud $b_{n} \neq 0$ pro všechna $n \in N$ a pokud je pravá strana definována. + +### Eulerovo číslo + +- je definováno jako $\displaystyle e := \lim_{ n \to \infty } \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^n$ = |"NV $1^\infty$"| +- alternativní definice: $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}$ + +## Konvergence a divergence + +Řekněme, že $(a_n)$ je + +| značka | typ | podmínka | +| ------ | ----------------------- | -------------------------------- | +| **K** | konvergentní | má-li vlastní / konečnou limitu | +| **D** | divergentní | není-li konvergentní | +| | divergentní k $+\infty$ | má-li nevlastní limitu $+\infty$ | +| | divergentní k $-\infty$ | má-li nevlastní limitu $-\infty$ | + +### Omezenost a limity +1) Je-li posloupnost konvergentní (**K**), pak je i omezená (**O**) + +2) Diverguje-li posloupnost k $+\infty$, pak je omezená pouze zdola (**OZ**) + +3) Diverguje-li posloupnost k $-\infty$, pak je omezená pouze shora (**OS**) + +Dále také +1) Je-li $(a_n)$ monotónní (**M**) a omezená (**O**), pak je i konvergentní (**K**) + +2) Je-li $(a_n)$ rostoucí (**R**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = sup \ a_{n}$ a $min \ a_{n} = a_{1}$ + +3) Je-li $(a_n)$ klesající (**K**) a omezená (**O**), pak $\displaystyle \lim_{ n \to \infty } a_{n} = inf \ a_{n}$ a $max \ a_{n} = a_{1}$ \ No newline at end of file