From 209ffaf774ac1640e17296ac284f21fad449ff32 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Filip Znachor Date: Fri, 21 Jun 2024 23:38:30 +0200 Subject: [PATCH] =?UTF-8?q?=C3=9Apravy=20okruh=C5=AF=20z=20NM?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- KMA NM/Zkouška/02. okruh.md | 6 +++--- KMA NM/Zkouška/04. okruh.md | 2 +- KMA NM/Zkouška/07. okruh.md | 2 +- KMA NM/Zkouška/08. okruh.md | 4 ++-- 4 files changed, 7 insertions(+), 7 deletions(-) diff --git a/KMA NM/Zkouška/02. okruh.md b/KMA NM/Zkouška/02. okruh.md index e3add4a..d778aec 100644 --- a/KMA NM/Zkouška/02. okruh.md +++ b/KMA NM/Zkouška/02. okruh.md @@ -13,7 +13,7 @@ Metody řešení - metoda prosté iterace - **zpřesňující metody** (konvergují rychleji, vyžadují dobrý odhad počáteční hodnoty) - Newtonova metoda - - metoda sečen + - metoda tečen - **speciální metody** **Existence řešení** @@ -82,7 +82,7 @@ Postup - $(x-x_{0})$ - předpis pro tečnu - vyjádříme $x$ - $\displaystyle x_{1} = x_{0} - \frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}$ - - $\displaystyle x_{k+1} = k_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$ ... iterační formule + - $\displaystyle x_{k+1} = x_{k} - \frac{f(x_{k})}{f'(x_{k})}$ ... iterační formule Zastavovací podmínka - dvě možnosti @@ -100,7 +100,7 @@ Zastavovací podmínka - druhá derivace $f''$ nemění znaménko v $I = \langle a,b\rangle$ - prochází bodem $x$, kde $f(x) = 0$ - $f(a)\cdot f(b) < 0$ -- $\displaystyle\left| \frac{f(a)}{f'(a)} \right| < b-a, \quad \left| \frac{f(b)}{f'(b)} \right| < b-a$ +- $\displaystyle\left| \frac{f(a)}{f'(a)} \right| < b-a, \quad \left| \frac{f(b)}{f'(b)} \right| < a-b$ - poté Newtonova metoda konverguje pro $\forall \, x_{0} \in I$ Rychlost konvergence diff --git a/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md b/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md index f2164ec..d2ed735 100644 --- a/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md +++ b/KMA NM/Zkouška/04. okruh.md @@ -12,7 +12,7 @@ - $x^{(k+1)} = H \cdot x^{(k)} + g$ - $H$ rozhoduje o kvalitě metody + zvolíme počáteční aproximaci $x^{(0)}$ -+ zastavovací podmínka $\Vert x^{(k)}-c^{(k-1)}\Vert < \epsilon$ ++ zastavovací podmínka $\Vert x^{(k)}-x^{(k-1)}\Vert < \epsilon$ **Jacobiho metoda** - matice musí být **regulární** - soustava má jedno řešení diff --git a/KMA NM/Zkouška/07. okruh.md b/KMA NM/Zkouška/07. okruh.md index 9c349c9..9ed193a 100644 --- a/KMA NM/Zkouška/07. okruh.md +++ b/KMA NM/Zkouška/07. okruh.md @@ -109,7 +109,7 @@ Jednoznačnost řešení Princip - hledáme aproximace ve tvaru - - $\varphi = \varphi(x), \varphi(x) = c_{0}\varphi_{0}(x) + c_{1}\varphi_{1}(x) + \dots + c_{n}\varphi_{n}(x)$ + - $\varphi = \varphi(x), \varphi(x) = c_{0}\varphi_{0}(x) + c_{1}\varphi_{1}(x) + \dots + c_{m}\varphi_{m}(x)$ - cílem L2 aproximace je minimalizovat odchylku funkce $\varphi$ od zadaných bodů Druhy diff --git a/KMA NM/Zkouška/08. okruh.md b/KMA NM/Zkouška/08. okruh.md index ea76c15..a6fe418 100644 --- a/KMA NM/Zkouška/08. okruh.md +++ b/KMA NM/Zkouška/08. okruh.md @@ -37,7 +37,7 @@ Vždy je **nejlepší použít centrální poměrnou diferenci**. Na krajích al Podmíněnost - úloha numerického derivování je **špatně podmíněna** - - pro změnšující se $h$ roste chyba (prvně klesá, poté začne strmě narůstat) + - chyba klesá s rostoucím $h$ (prvně klesá, poté začne strmě narůstat) - chceme najít optimální krok $h_{opt} \to$ Richardsonova extrapolace ### Richardsonova extrapolace @@ -113,7 +113,7 @@ Obecný tvar kvadraturního vzorce - $x_{i}$ ... uzly (neekvidistantní) Vlastnosti -- máme-li $m+1$ bodů, tak vzorec integruje přesně až do $2m-1$ stupně polynomu +- máme-li $m+1$ bodů, tak vzorec integruje přesně až do $2m+1$ stupně polynomu - vyšší přesnost, ale neekvidistantní uzly (nemají od sebe stejnou vzdálenost) - Gaussovy kv. vzorce vždy konvergují